Задача 37017 Найти решение задачи Коши. y'' + 9y =...

help

13 мая 2019 г. в 20:59

Найти решение задачи Коши.

y'' + 9y = 9/cos3x, y(0) = 1, y'(0) = 0.

sova

13 мая 2019 г. в 21:47

★

6)
Решаем однородное
y``+9y=0
Составляем характеристическое
k²+9=0
k₁=–3i; k₂=3i
y_одн.=С₁·cos3x+C₂sinx3x

Правая часть f(x) =9/cos3x

Применяем метод вариации произвольных постоянных

Константы С₁ и С₂ выбираем как функции, зависящие от х

y=C₁(x)·cos3x+C₂(x)·sin3x

С₁(x) и С₂(х) находим из системы уравнений:

{C`<sub>1</sub>(x)cos3x+C`₂(x)sin3x=0
{C`<sub>1</sub>(x)·(–3sin3x)+C`₂(x)·(3cos3x)=9/cos3x


{C`<sub>1</sub>(x)= – C<sub>2</sub>`(x)tg3x
{–C₂`(x)(tg3x)·(sin3x)+C`₂(x)·(cos3x)=3/cos3x

–C₂`(x)(sin<sup>2</sup>3x)+C`₂(x)·(cos²3x)=3

C`₂(x)·(cos²3x–sin²3x)=3

C`₂(x)·(cos6x)=3

C`₂(x)=3/cos6x

С₂(x)= 3∫ dx/cos6x