Задача 23151 9.3.243) Кривая вращается вокруг оси....

slava191

31.01.2018

9.3.243) Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности враще­ния: тангенсоида у = tgx от х = 0 дo х = Pi/4 вокруг оси Ох

SOVA

01.02.2018

★

S_(тела вр. Оx)=2Pi ∫ ^(b)_(a)f(x)*sqrt(1+(f`(x))^2)dx

f`(x)=(tgx)`=1/cos^2x
1+(f`(x))^2=1+(1/cos^2x)^2

S=2Pi ∫ ^(Pi/4)_(0)tgx*sqrt(1+(1/cos^2x)^2)dx=

= 2 Pi * ∫ ^(Pi/4)_(0)( sin x/cos x) *( sqrt((cos^4 x + 1)/cos^4 x)) dx =

= 2 Pi * ∫ ^(Pi/4)_(0) (sqrt(cos^4 x + 1)/cos^3 x) * sin x dx =
= 2 Pi * ∫ ^(Pi/4)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(-cos x) =
= - 2 Pi * ∫ ^(Pi/4)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(cos x) =

Замена переменной t = cos x

= -2 * Pi * ∫ ^(sqrt(2)/2)_(1) sqrt (t^4 + 1)dt/t^3 =

= 2 * Pi * ∫ ^(sqrt(2)/2)_(1) (t^4 + 1)^(1/2) * t^(-3) dt =

Замена переменной

t^(-4) + 1 = z^2, z = (1 + 1/t^4)^(1/2), t^4 = 1/(z^2 - 1), t = (z^2 - 1)^(-1/4),
dt = -1/4 * (z^2 - 1)^(-5/4) * 2 * z | =

= 2 * Pi *∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) (1/(z^2 - 1) + 1)^(1/2) * (z^2 - 1)^(3/4) *
* (-1/4) * (z^2 - 1)^(-5/4) * 2 * z dz =


= 2 * Pi *∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) (z^2/(z^2 - 1))^(1/2) * (z^2 - 1)^(-1/2) *
* (-1/2) * z dz =

= -Pi *∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) z^2/(z^2 - 1)^(1/2) * 1/(z^2 - 1)^(1/2) dz =

= Pi *∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) z^2/(z^2 - 1) dz =

= Pi *∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) (z^2 - 1 + 1)/(z^2 - 1) dz =

= Pi *∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) dz + Pi *∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) 1/(z^2 - 1) dz =
= Pi * (z)|^(sqrt(5))_(sqrt(2)) + Pi * ∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) 1/((z - 1) * (z + 1)) dz =

= Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) + (1/2) * Pi * ∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) 2/((z - 1) * (z + 1)) dz =

= Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) + (1/2) * Pi * ∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2)) ((z + 1) - (z - 1))/((z - 1) * (z + 1)) dz =

= Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) + (1/2) * Pi * ∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2))(dz/(z - 1) )-
- (1/2) * Pi * ∫ ^(sqrt(5))_(sqrt(2))(dz/(z + 1)) =

= Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) + (1/2) * Pi * (ln |z - 1|)|^(sqrt(5))_(sqrt(2)) -
- (1/2) * Pi * (ln |z + 1|)|^(sqrt(5))_(sqrt(2)) =

= Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) + (Pi/2) * ln| sqrt(5) - 1| -(Pi/2)* ln |sqrt(2) - 1| - (Pi/2)* ln |sqrt(5) + 1| +(Pi/2)*ln |sqrt(2) + 1|) =

=Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) +
+ Pi * ln sqrt((sqrt(5)-1)/sqrt(5)+1))+Pi* lnsqrt(sqrt(2)+1)/sqrt(2)-1) =

= Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) +
+Pi * ln sqrt((sqrt(5))^2-1)/(sqrt(5)+1)^2) +
+Pi * ln sqrt((sqrt(2)+1)^2)/(sqrt(2)+1)sqrt(2)-1))


=Pi * (sqrt(5) - sqrt(2)) +
+Pi * ln (2*(sqrt(2)+1))/(sqrt(5)+1)