Задача 23151 9.3.243) Кривая вращается вокруг оси....

slava191

31 января 2018 г.

9.3.243) Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности враще­ния: тангенсоида у = tgx от х = 0 дo х = π/4 вокруг оси Ох

SOVA

2 января 2018 г. в 00:00

★

S_{тела вр. Оx}=2π ∫ ^b_af(x)·√1+(f`(x))²dx

f`(x)=(tgx)`=1/cos²x
1+(f`(x))²=1+(1/cos²x)²

S=2π ∫ ^π/4₀tgx·√1+(1/cos²x)²dx=

= 2 π · ∫ ^π/4₀( sin x/cos x) ·( √(cos⁴ x + 1)/cos⁴ x) dx =

= 2 π · ∫ ^π/4₀ (√cos⁴ x + 1/cos³ x) · sin x dx =
= 2 π · ∫ ^π/4₀ (cos⁴ x + 1)^1/2/cos³ x d(–cos x) =
= – 2 π · ∫ ^π/4₀ (cos⁴ x + 1)^1/2/cos³ x d(cos x) =

Замена переменной t = cos x

= –2 · π · ∫ ^√2/2₁ sqrt (t⁴ + 1)dt/t³ =

= 2 · π · ∫ ^√2/2₁ (t⁴ + 1)^1/2 · t^–3 dt =

Замена переменной

t^–4 + 1 = z², z = (1 + 1/t⁴)^1/2, t⁴ = 1/(z² – 1), t = (z² – 1)^–1/4,
dt = –1/4 · (z² – 1)^–5/4 · 2 · z | =

= 2 · π ·∫ ^√5_√2 (1/(z² – 1) + 1)^1/2 · (z² – 1)^3/4 ·
· (–1/4) · (z² – 1)^–5/4 · 2 · z dz =


= 2 · π ·∫ ^√5_√2 (z²/(z² – 1))^1/2 · (z² – 1)^–1/2 ·
· (–1/2) · z dz =

= –π ·∫ ^√5_√2 z²/(z² – 1)^1/2 · 1/(z² – 1)^1/2 dz =

= π ·∫ ^√5_√2 z²/(z² – 1) dz =

= π ·∫ ^√5_√2 (z² – 1 + 1)/(z² – 1) dz =

= π ·∫ ^√5_√2 dz + π ·∫ ^√5_√2 1/(z² – 1) dz =
= π · (z)|^√5_√2 + π · ∫ ^√5_√2 1/((z – 1) · (z + 1)) dz =

= π · (√5 – √2) + (1/2) · π · ∫ ^√5_√2 2/((z – 1) · (z + 1)) dz =

= π · (√5 – √2) + (1/2) · π · ∫ ^√5_√2 ((z + 1) – (z – 1))/((z – 1) · (z + 1)) dz =

= π · (√5 – √2) + (1/2) · π · ∫ ^√5_√2(dz/(z – 1) )–
– (1/2) · π · ∫ ^√5_√2(dz/(z + 1)) =

= π · (√5 – √2) + (1/2) · π · (ln |z – 1|)|^√5_√2 –
– (1/2) · π · (ln |z + 1|)|^√5_√2 =

= π · (√5 – √2) + (π/2) · ln| √5 – 1| –(π/2)· ln |√2 – 1| – (π/2)· ln |√5 + 1| +(π/2)·ln |√2 + 1|) =

=π · (√5 – √2) +
+ π · ln √(√5–1)/√5+1)+π· ln√√2+1/√2–1) =

= π · (√5 – √2) +
+π · ln √(√5)²–1/(√5+1)²) +
+π · ln √(√2+1)²/(√2+1)√2–1))


=π · (√5 – √2) +
+π · ln (2·(√2+1))/(√5+1)