Задача 23362 Перерешиваем задачу:...

slava191

05.02.2018

Перерешиваем задачу: [link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=3867]

В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 2sqrt(3) , SA = SC = sqrt(33), SB = 7 . Точка О — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка О лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

SOVA

05.02.2018

★

1) Проводим SK⊥АС
SK - высота равнобедренного треугольника ASC
По теореме Пифагора
SK^2=SA^2-AK^2=(sqrt(33))^2-(2sqrt(3)/2)^2=33-3=30
SK=sqrt(30)

2)Проводим BK⊥АС
BK - высота равностороннего треугольника AВC
По теореме Пифагора
BK^2=AB^2-AK^2=(2sqrt(3))^2-(2sqrt(3)/2)^2=12-3=9
BK= 3

3) Из треугольника SKB находим косинус угла SKB по теореме косинусов:
cos ∠SKB=((sqrt(30))^2+3^2-7^2)/(2*3*sqrt(30))=-10/6sqrt(30) < 0
∠SKB > 90 градусов, значит основание высоты SO лежит вне треугольника АВС

4) В прямоугольном треугольнике SOK ( SO⊥ пл. АВС) острый угол SKO - смежный углу SKB
cos ∠SKO = cos(180^(o) - ∠SKB)= - cos∠SKB=10/6sqrt(30);
sin∠SKO=sqrt(1-cos^2∠SKO)=sqrt(1-(100/(36*30)))=sqrt(98/108)

SO = SK*sin∠SKO=sqrt(30)*sqrt(98/108)=(7/6)*sqrt(20)
ОК=SK*cos∠SKO= sqrt(30)*(10/6sqrt(30))=10/6=5/3

6) Из равенства прямоугольных треугольников SOA и SOC ( SO- общая высота, SA=SC по условию) следует
АО=СО
Треугольник АОС - равнобедренный. Высота ОК - одновременно медиана.

6) V( пирамиды SABCO)=(1/3)*S(четырехугольника ABCO)*SO=

=(1/3)*((S Δ ABC)+S( Δ AOC))*SO=

=(1/3)*((1/2)AC*BK + (1/2)AC*OK)*SO=

=(1/6)AC*(BK+OK)*SO=

=(1/6)*(2sqrt(3))*(3+(5/3))*(7/6)*sqrt(20)=

=(sqrt(3)/3)*(14/3)*(7/6)*2sqrt(5)

=98sqrt(15)/27