z=x^(2)-(xy)+y^(2)+x+y+2
z`_(y)=(x^2-xy+y^2+x+y+2)`_(y)= - х+2y+1
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{2x-y+1=0
{-х+2y+1=0 ⇒x=2y+1
и подставим в первое уравнение:
2*(2y+1)-y+1=0
3y= - 3
y= - 1
x=2*(-1)=1= - 1
Исследуем точку M(-1;1) на экстремум
Находим вторые частные производные:
z``_(xx) = 2
z``_(xy) = -1
z``_(yy) = 2
А=z``_(xx)(М) = 2
B=z``_(xy)(М) = - 1
C=z``_(yy)(М) = 2
Δ=AC-B^2=2*2-(-1)^2>0
точка M является точкой экстремума
Так как
А=z``_(xx)(M) = 2 >0,
то М - точка минимума
z_(наим)=z(-1;1)= (-1)^2-(-1)*1+1^2+(-1)+1+1 = cчитаем самостоятельно...
[youtube=https://youtu.be/iGGzNJfF8Pg]
[youtube=https://youtu.be/va9Ml47FCMI]