Задача 45049 Найти общее решение линейного...

vk576904411

2020-03-16 18:34:02

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Подставить в общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка заданные начальные условия, выразив затем константу.
Получить частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

sova

2020-03-19 09:59:07

★

Линейное неоднородное первого порядка

[m]y`+\frac{1}{x}\cdot y =\frac{sinx}{x} [/m] [red](#)[/red]

Решаем [i]однородное[/i]

y`+(1/x)*y=0

Это уравнение с [i]разделяющимися переменными[/i]:

dy/dx=-y/x

dy/y=-dx/x

∫ dy/y=- ∫ dx/x

ln|y|=-ln|x|+lnc

ln|y|=ln[m]\frac{c}{|x|}[/m]

y=[m]\frac{c}{x}[/m]

Применяем метод вариации произвольной c

y=[m]\frac{c(x)}{x}[/m]

y`=[m]\frac{c`(x)\cdot x-c(x)\cdot x`}{x^2}[/m]

y`=[m]\frac{c`(x)}{x}-\frac{c(x)}{x^2}[/m]

Подставляем в [red](#)[/red]

[m]\frac{c`(x)}{x}-\frac{c(x)}{x^2}+\frac{1}{x}\cdot \frac{c(x)}{x} =\frac{sinx}{x} [/m]


[m]\frac{c`(x)}{x} =\frac{sinx}{x} [/m]


c`(x)=sinx

c(x)= ∫ sinxdx=-cosx + C

y=[m]\frac{c(x)}{x}[/m]

y=[m]\frac{-cosx + C}{x}[/m]

y=[m]-\frac{cosx}{x}+\frac{c}{x}[/m] - общее решение

По условию:
при x_(o)=[m]\frac{\pi}{2}[/m]
y=1

1=[m]-\frac{cos\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}+\frac{C}{\frac{\pi}{2}}[/m] , cos (π/2)=0;

1=[m]\frac{C}{\frac{\pi}{2}}[/m]

C=[m]\frac{\pi}{2}[/m]

частное решение:
y=[m]-\frac{cosx}{x}+\frac{\pi}{2x}[/m]