Задача 35272 Исследовать на экстремум функцию z = f...

vk88691639

2 апреля 2019 г. в 21:38

Исследовать на экстремум функцию z = f (x,y)
z=8x–4y+x²–xy+y²+15

sova

2 апреля 2019 г. в 21:53

★

Находим частные производные
z`<sub>x</sub>=(8x–4y+x<sup>2</sup>–xy+y<sup>2</sup>+15)`_x=8+2x–y
z`<sub>y</sub>=(8x–4y+x<sup>2</sup>–xy+y<sup>2</sup>+15)`_x=–4–x+2y

Находим стационарные точки:
{z`<sub>x</sub>=0
{z`_y=0

{8+2x–y=0
{–4–x+2y=0

Умножаем первое уравнение на 2
{16+4x–2y=0
{–4–x+2y=0

Складываем
12+3x=0
x=–4

y=2x+8=2·(–4)+8=0

M(–4;0)

Находим вторые частные производные
z``<sub>xx</sub>=2
z``_xy=–1
z``_yy=2

A=z``<sub>xx</sub>(M)=2
B=z``_yy(M)=2
C=z``_xy(M)=–1

Δ= AB – C²=2·2–(–1)²=3 > 0
точка M – точка экстремума.
Так как A=z``_xx(M)=2>0, то это точка минимума.

z(–4;0)=8·(–4)–4·0+(–4)²–(–4)·0+0²+15= –1