Задача 35272 Исследовать на экстремум функцию z = f...

vk88691639

2019-04-02 21:38:53

Исследовать на экстремум функцию z = f (x,y)
z=8x-4y+x^2-xy+y^2+15

sova

2019-04-02 21:53:03

★

Находим частные производные
z`_(x)=(8x-4y+x^2-xy+y^2+15)`_(x)=8+2x-y
z`_(y)=(8x-4y+x^2-xy+y^2+15)`_(x)=-4-x+2y

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{8+2x-y=0
{-4-x+2y=0

Умножаем первое уравнение на 2
{16+4x-2y=0
{-4-x+2y=0

Складываем
12+3x=0
x=-4

y=2x+8=2*(-4)+8=0

M(-4;0)

Находим вторые частные производные
z``_(xx)=2
z``_(xy)=-1
z``_(yy)=2

A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(yy)(M)=2
C=z``_(xy)(M)=-1

Δ= AB - C^2=2*2-(-1)^2=3 > 0
точка M - точка экстремума.
Так как A=z``_(xx)(M)=2>0, то это точка [b]минимума.[/b]

z(-4;0)=8*(-4)-4*0+(-4)^2-(-4)*0+0^2+15= [b]-1[/b]