Задача 29676 (log9x-log(18)x)/(log(18)(2-x)-log(36)(2-x))...

slava191

18 сентября 2018 г. в 01:09

(log₉x–log₁₈x)/(log₁₈(2–x)–log₃₆(2–x)) ≤ log₃₆9

sova

3 октября 2018 г. в 15:34

★

ОДЗ:
{x>0
{2–x>0 ⇒ x < 2
{log₁₈(2–x)–log₃₆(2–x)≠0 (cм. преобразования знаменателя ⇒ (2–х)≠1 ⇒х≠1)
x ∈ (0;1)U(1;2)

Применяем формулу перехода к другому основанию и переходим к основанию 9:

(log₉x – (log₉x/log₉18))/(log₉(2–x)/log₉18)–(log₉(2–x)/log₉36) ≤ log₉9/log₉36;

упрощаем

1) числитель
log₉x – (log₉x/log₉18)=

=log₉x·(log₉18 – 1)/(log₉18)=

=log₉x·(log₉18–log₉9)/(log₉18)=

=log₉x·(log₉18/9)/(log₉18)=

=log₉x·(log₉2)/(log₉18)=


знаменатель :

(log₉(2–x))/(log₉18)–(log₉(2–x))/(log₉36) =

=log₉(2–x)·(log₉36–log₉18)/(log₉18·log₉36)=

=log₉(2–x)·(log₉36/18)/(log₉18·log₉36)=

=log₉(2–x)·(log₉2)/(log₉18·log₉36)

Тогда неравенство принимает вид:

log₉x·log₉36/log₉(2–x) ≤ 1/(log₉36)

log₉x/log₉(2–x) ≤ 1/(log²₉36)

Неравенство верно при любом х из области допустимых значений уравнения:

При x ∈ (0,1)
log₉x < 0
log₉(2–x) > 0
cм. рис.1
При x ∈ (1,2)
log₉x > 0
log₉(2–x) < 0

log₉x/log₉(2–x) < 0 при любом х ∈ (0;1)

1/(log²₉36) > 0

О т в е т. (0;1) U (1;2)