Задача 30759 Продолжения медиан АМ и ВК треугольника...

slava191

3 ноября 2018 г. в 14:13

Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем АЕ:АМ=2:1, BF:BK=3:2.

А) Докажите, что АВ||СЕ

Б) Найти углы треугольника АВС. (L 16)

sova

4 ноября 2018 г. в 12:26

★

AM– медиана Δ АВС, значит BM=MC, M – середина ВС.
ВK– медиана Δ АВС, значит AK=KC, K – середина АС.
Значит KM – средняя линия Δ АВС:
KM || AB
KM=(1/2)AB.

По условию AE:AM=2:1 ⇒ AM=ME и M – середина AE
Значит, KM – средняя линия Δ АСЕ:
KM || СЕ
KM=(1/2)СЕ.

AB || KM || CE ⇒ AB || CE

б)
AB=CE=2KM
Значит и дуги АВ и СЕ, стягиваемые равными хордами равны.
рис.3
∠САЕ= ∠ BCA как углы, опирающиеся на равные дуги.

Δ АМС – равнобедренный.
MС=MA.
Так как
MA=ME, то
MC=MA=ME и поэтому
M– центр окружности, описанной около треугольника АСЕ.
а значит и около треугольника АВС.
MС=MB
MC=MA
MC=MB=MA

∠ A=90^o
BC и АЕ – диаметры.

Обозначим MC=MB=MA=ME=R

KF=x, по условию BF:BK=2:3 , значит BK=2x

Медианы АМ и BK пересекаются в точке D.
AD:DM=2:1
BD:DK=2:1

AD=(2/3)R; DM=(1/3)R
BD=(4/3)x; DK=(2/3)x

DF=DK+KF=(2/3)x+x=(5/3)x
DE=DM+ME=(1/3)R+R=(4/3)R

По свойству пересекающихся хорд:
BD·DF=AD·DE

(4/3)x·(5/3)x=(2/3)R·(4/3)R
x²=(2/5)R²

Из Δ MDB по теореме косинусов:
DB²=MD²+MB²–2MD·MB·cos ∠ BMD
⇒
cos ∠ BMD=((R/3)²+R²–(4/3x)²)/(2·(R/3)·R)=

=((10R²/9)–(16/9)·(2/5)R²)/(2·R²/3)= (18/45)·(3/2)=0,6

По теореме косинусов из Δ АМВ

АВ²=R²+R²–2R·R·0,6

AB=R·√0,8

sin ∠ C =AB/CB=√0,8/2=√0,2=1/√5
∠ C= arcsin(1/√5)

sin ∠ B= cos ∠ C= 2/√5

∠ B= arcsin(2/√5)

tg∠ B=sin∠ B/cos∠ B=2; tg∠ C=1/2

О т в е т. 90^o; arcsin(1/√5);arcsin(2/√5)
или
90^o; arctg2 и arctg(1/2)