Задача 30759 Продолжения медиан АМ и ВК треугольника...

slava191

2018-11-03 14:13:31

Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем АЕ:АМ=2:1, BF:BK=3:2.

А) Докажите, что АВ||СЕ

Б) Найти углы треугольника АВС. (L 16)

sova

2018-11-04 12:26:14

★

AM- медиана Δ АВС, значит BM=MC, M - середина ВС.
ВK- медиана Δ АВС, значит AK=KC, K - середина АС.
Значит KM - средняя линия Δ АВС:
KM || AB
KM=(1/2)AB.

По условию AE:AM=2:1 ⇒ AM=ME и M - середина AE
Значит, KM - средняя линия Δ АСЕ:
KM || СЕ
KM=(1/2)СЕ.

AB || KM || CE ⇒ AB || CE

б)
[b]AB=CE=2KM[/b]
Значит и дуги АВ и СЕ, стягиваемые равными хордами равны.
рис.3
∠САЕ= ∠ BCA как углы, опирающиеся на равные дуги.

Δ АМС - равнобедренный.
MС=MA.
Так как
MA=ME, то
MC=MA=ME и поэтому
M- центр окружности, описанной около треугольника АСЕ.
а значит и около треугольника АВС.
MС=MB
MC=MA
MC=MB=MA

∠ A=90^(o)
BC и АЕ - диаметры.

Обозначим MC=MB=MA=ME=R

KF=x, по условию BF:BK=2:3 , значит BK=2x

Медианы АМ и BK пересекаются в точке D.
AD:DM=2:1
BD:DK=2:1

AD=(2/3)R; DM=(1/3)R
BD=(4/3)x; DK=(2/3)x

DF=DK+KF=(2/3)x+x=(5/3)x
DE=DM+ME=(1/3)R+R=(4/3)R

По свойству пересекающихся хорд:
BD*DF=AD*DE

(4/3)x*(5/3)x=(2/3)R*(4/3)R
[b]x^2=(2/5)R^2[/b]

Из Δ MDB по теореме косинусов:
DB^2=MD^2+MB^2-2MD*MB*cos ∠ BMD
⇒
cos ∠ BMD=((R/3)^2+R^2-(4/3x)^2)/(2*(R/3)*R)=

=((10R^2/9)-(16/9)*(2/5)R^2)/(2*R^2/3)= (18/45)*(3/2)=0,6

По теореме косинусов из Δ АМВ

АВ^2=R^2+R^2-2R*R*0,6

AB=R*sqrt(0,8)

sin ∠ C =AB/CB=sqrt(0,8)/2=sqrt(0,2)=1/sqrt(5)
∠ C= arcsin(1/sqrt(5))

sin ∠ B= cos ∠ C= 2/sqrt(5)

∠ B= arcsin(2/sqrt(5))

tg∠ B=sin∠ B/cos∠ B=2; tg∠ C=1/2

О т в е т. 90^(o); arcsin(1/sqrt(5));arcsin(2/sqrt(5))
или
90^(o); arctg2 и arctg(1/2)