Задача 34533 xy’=y+ sqrt(подкоренное выражение)x2+y2 ...

vk497475413

2019-03-16 06:32:36

xy’=y+ sqrt(подкоренное выражение)x2+y2 ,y(1)=0

sova

2019-03-18 23:06:16

Делим уравнение на х
y`=(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)
Замена
y/x=u

y`=u+sqrt(1+u^2)

y=xu
y`=(xu)`=x`*u+x*u`=u+x*u` ( x`=1, х - независимая переменная)

u+x*u`=u+sqrt(1+u^2)
x*u`=sqrt(1+u^2)
u`=du/dx
xdu/dx=sqrt(1+u^2)
xdu=sqrt(1+u^2)dx- уравнение с разделяющимися переменными
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
Интегрируем
∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x|+lnC
u+sqrt(1+u^2)=Cx
Обратная замена
[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx [/b]- общее решение

y(1)=0
0+sqrt(1+0)=C*1
С=1
[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=x[/b] - частное решение