см. рис.
На каждом рисунке неравенство
ax^2+bx+c >0
имеет решения или не имеет
При a > 0
(см. верхние рисунки) ветви параболы направлены вверх
На первом рисунке неравенство верно при любом х
На втором - верно при всех х, кроме одного значения.
На третьем верно при x_(1) < x < x_(2)
Поэтому если в вопросе задачи спрашивается про неравенство, которое верно для любых х, значит спрашивают про случай рис. 1
{a>0 ⇒ a>0
{D>0 ⇒ (-1/2) < a < (1/14)
D=(-1)^2-4a*(7a+3)=1-28a^2-12a=-28a^2-12a+1
-28a^2-12a+1 > 0
28a^2+12a-1 < 0
Решаем квадратное неравенство относительно а:
находим дискриминант:
D=144-4*28*(-1)=144+112=256
a_(1)=(-12-16)/56=-1/2; a_(2)=(-12+16)/56=1/14
28a^2+12a-1 < 0 верно
при (-1/2) < a < (1/14)
Решение системы 0 < a < 1/14
О т в е т. При а ∈ (0; 1/14) неравенство выполняется для любого х