Задача 33340 Помогите неопределенный интеграл...
Условие
Все решения
cos^52x*sin^32x=cos^52x*sin^22x*sin2x=
=cos^52x*(1-cos^22x)*sin2x= cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x
∫ сos^52x*sin^32xdx= ∫ ( cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x)dx
= ∫ cos^52x*(sin2x)dx - ∫ cos^72x*(sin2x)dx=
замена переменной
cos2x=t
dt=(cos2x)`*dx
dt=(-sin2x)*(2x)`dx
dt=-2sin2xdx
sin2xdx=(-1/2)dt
=(-1/2) ∫ t^5dt +(1/2) ∫t^7dt=
=(-1/2)t^6/(6) +(1/2)t^8/(8)+C=
=(-1/2)*(t^62x)/6 + (1/2) * (cos^82x)/8 + С
=(-1/12)cos^62x +(1/16)cos^82x+C
8б)
1/cos^25x= 1+tg^25x
tg^35x/cos^4x=tg^35x*(1/cos^2x)*(1/cos^2x)=tg^35x*(1+tg^25x)*(1/cos^25x)
Замена переменной
tg5x=t
dt=(tg5x)`dx
dt=(1/cos^25x)*(5x)`dx
dt=5dx/cos^25x
dx/cos^25x=(1/5)dt
∫ (tg^35x)dx/cos^4x= ∫ tg^35x*(1+tg^25x)*(1/cos^25x)=
= ∫ t^3*(1+t^2)*(1/5)dt=(1/5) ∫ t^3+t^5)dt=(1/5)*((t^4/4)+(t^6/6))+C=
=(1/20)tg^45x+(1/30)tg^65x+C