Задача 43248 найдите все значения параметра a, при...

donpedro

2020-01-07 03:10:43

найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решения

[m]
\left\{\begin{matrix}
(x-3a-4)^2+(y-a+2)^2 = 1 \\
(x-4a-3)^2+(y+3)^2 = 9
\end{matrix}\right.
[/m]

sova

2020-01-07 11:24:25

★

Первое уравнение системы - окружность с центром (3а+4; a-2) и радиусом r=1
Первое уравнение системы - окружность с центром (4а+ 3; -3) и радиусом R=3

Вычитаем из первого уравнения второе:

(x-3a-4)^2-(x-4a-3)^2+(y-a+2)^2-(y+3)^2=-8

Применяем формулу разности квадратов:

(x-3a-4-x+4a+3)(x-3a-4+x-4a-3) + (y-a+2-y-3)(y-a+2+y+3)=-8

(a-1)(2x-7a-7)+(-a-1)(2y-a+5)+8=0 уравнение прямой:

Заменим данную систему равносильной ей, первое уравнение заменим разностью двух уравнений, а второе оставляем без изменения.

Система принимает вид:
{(a-1)(2x-7a-7)+(-a-1)(2y-a+5)+8=0
{(x-4a-3)^2(y+3)^2=9

Переформулировка задачи:
При каких значениях параметра а прямая (a-1)(2x-7a-7)+(-a-1)(2y-a+5)+8=0

имеет с окружностью (x-4a-3)^2(y+3)^2=9


Решаем способом подстановки:

выражаем y из первого уравнения и подставляем во второе:


Получаем квадратное уравнение с параметром ( громоздкое)


Оно имеет одно решение, если дискриминант равен 0

Надо много поработать, чтобы все вычислить.