Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 30708 1) y'cosx = ysinx, y(Pi) = 3 2) xy' =...

Условие

1) y'cosx = ysinx, y(Pi) = 3

2) xy' = 3sqrt(x^2+y^2) + y

3) y'-y/x = x^2c^(x)

4) (5y+12x^2)dx + (5x+12y)dy = 0

математика ВУЗ 1050

Все решения

1)
y`=dy/dx
cosxdy=ysinxdx
Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим обе части уравнения на ycosx
dy/y=sindx/cosx

Интегрируем
∫ dy/y= -∫ d(cosx)/cosx
ln|y|=-ln|cosx|+lnC
ln|y|=ln(C/|cosx|)
y=C/cosx - общее решение

Так как y(π)=3, то
3=С/cosπ
C=-3

y=-3/cosx - частное решение

2)

y`=3*(sqrt(x^2+y^2)/x)+(y/x)

y`=3*sqrt(1+(y/x)^2)+(y/x) - однородное уравнение.

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
x`=1, так как х - независимая переменная.

Подставляем в ту строчку, где написано однородное уравнение:

u+x*u`=3*sqrt(1+u^2)+u

x*u`=3*sqrt(1+u^2)

u`=du/dx

x*du/dx=3*sqrt(1+u^2)

x*du=3*sqrt(1+u^2)dx - уравнение с разделяющимися переменными

Делим обе части на х*sqrt(1+u^2)

du/sqrt(1+u^2)=3dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫ 3dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2|=3ln|x|+lnC

u+sqrt(1+u^2)=Cx^3 , u=y/x

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx^3 - общее решение

3)
Линейное уравнение первого порядка.
Будем искать решение в виде произведения функций
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в данное уравнение:
u`*v+u*v` - (uv)/x =x^2*e^(x)

сгруппируем второе и третье слагаемые

u`*v+u*[b](v` - (v)/x)[/b] =x^2*e^(x)

Функцию v выберем так, чтобы выражение [b](v` - (v)/x)=0[/b], тогда
u`*v+u*[b]0[/b]=x^2*e^(x)

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v` - (v)/x=0 ⇒ dv/v=dx/x Интегрируем ln|v|=ln|x| ( С=0) ⇒ [b]v=x[/b]

u`*v+u*[b]0[/b]=x^2*e^(x)

(du)*x=x^2e^(x)dx

du=x*e^(x)dx

u= ∫x*e^(x)dx= интегрирование по частям=

=x*e*(x)-e^(x)+C

y=u*v=( x*e*(x)-e^(x)+C)*x=x^2e^(x)-xe^(x)+Cx

О т в е т. y=x^2e^(x)-xe^(x)+Cx

4) Уравнение вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
Так как
P`_(y)(x;y)=5
Q_(x)(x;y)=5
Это уравнение в полных дифференциалах.
U(x;y)=C - общее решение уравнения в полных дифференциалах
причем
U`_(x)(x;y)=P(x;y)
U`_(y)(x;y)=Q(x;y)

По частной производной U`_(x) =5y+12x^2 находим
U(x;y)= ∫ (5y+12x^2)dx= (5y)*x+(12x^3/3)+ C_(1)(y)

Дифференцируем по переменной y и сравниваем c U`_(y)(x;y)=Q(x;y)

((5y)*x+(12x^3/3)+ C_(1)(y))`_(y)=5x+C`(y)


⇒ 5x+C`_(1)(y)=5x+12y

C`_(1)(y)=12y

С_(1)(y)=(12y^2/2)+C_(2)

Итак,

U(x;y)= (5y)*x+(12x^3/3)+ C_(1)(y)=

= (5y)*x+(12x^3/3)+(12y^2/2)+C_(2)=

=5xy+4x^3+6y^2+C - о т в е т. C_(2)=C

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК