Задача 30708 1) y'cosx = ysinx, y(Pi) = 3 2) xy' =...

floyinx

1 ноября 2018 г. в 15:12

1) y'cosx = ysinx, y(π) = 3

2) xy' = 3√x²+y² + y

3) y'–y/x = x²c^x

4) (5y+12x²)dx + (5x+12y)dy = 0

sova

1 ноября 2018 г. в 16:38

1)
y`=dy/dx
cosxdy=ysinxdx
Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим обе части уравнения на ycosx
dy/y=sindx/cosx

Интегрируем
∫ dy/y= –∫ d(cosx)/cosx
ln|y|=–ln|cosx|+lnC
ln|y|=ln(C/|cosx|)
y=C/cosx – общее решение

Так как y(π)=3, то
3=С/cosπ
C=–3

y=–3/cosx – частное решение

2)

y`=3·(√x²+y²/x)+(y/x)

y`=3·√1+(y/x)²+(y/x) – однородное уравнение.

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`·u+x·u`
x`=1, так как х – независимая переменная.

Подставляем в ту строчку, где написано однородное уравнение:

u+x·u`=3·√1+u²+u

x·u`=3·√1+u²

u`=du/dx

x·du/dx=3·√1+u²

x·du=3·√1+u²dx – уравнение с разделяющимися переменными

Делим обе части на х·√1+u²

du/√1+u²=3dx/x

Интегрируем

∫ du/√1+u²= ∫ 3dx/x

ln|u+√1+u²|=3ln|x|+lnC

u+√1+u²=Cx³ , u=y/x

(y/x)+√1+(y/x)²=Cx³ – общее решение

3
Линейное уравнение первого порядка.
Будем искать решение в виде произведения функций
y=u·v
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в данное уравнение:
u`·v+u·v` – (uv)/x =x²·e^x

сгруппируем второе и третье слагаемые

u`·v+u·(v` – (v)/x) =x²·e^x

Функцию v выберем так, чтобы выражение (v` – (v)/x)=0, тогда
u`·v+u·0=x²·e^x

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v` – (v)/x=0 ⇒ dv/v=dx/x Интегрируем ln|v|=ln|x| ( С=0) ⇒ v=x

u`·v+u·0=x²·e^x

(du)·x=x²e^xdx

du=x·e^xdx

u= ∫x·e^xdx= интегрирование по частям=

=x·e·(x)–e^x+C

y=u·v=( x·e·(x)–e^x+C)·x=x²e^x–xe^x+Cx

О т в е т. y=x²e^x–xe^x+Cx

4) Уравнение вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
Так как
P`<sub>y</sub>(x;y)=5
Q<sub>x</sub>(x;y)=5
Это уравнение в полных дифференциалах.
U(x;y)=C – общее решение уравнения в полных дифференциалах
причем
U`_x(x;y)=P(x;y)
U`_y(x;y)=Q(x;y)

По частной производной U`_x =5y+12x² находим
U(x;y)= ∫ (5y+12x²)dx= (5y)·x+(12x³/3)+ C₁(y)

Дифференцируем по переменной y и сравниваем c U`_y(x;y)=Q(x;y)

((5y)·x+(12x³/3)+ C₁(y))`<sub>y</sub>=5x+C`(y)


⇒ 5x+C`₁(y)=5x+12y

C`₁(y)=12y

С₁(y)=(12y²/2)+C₂

Итак,

U(x;y)= (5y)·x+(12x³/3)+ C₁(y)=

= (5y)·x+(12x³/3)+(12y²/2)+C₂=

=5xy+4x³+6y²+C – о т в е т. C₂=C