Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 27939 Все на картинке...

Условие

Все на картинке

математика ВУЗ 342

Все решения

Составляем характеристическое уравнение системы:
|(2- лямбда ). .(-2)|
. . . . . . . . . . . .. . =0
|2. .(8- лямбда )|

(2- лямбда )*(8- лямбда )+4=0
лямбда ^2-11 лямбда +28=0

лямбда _(1)=4 или лямбда_(2)=7

y(t)=C_(1)e^(4t)+ C_(2)e^(7t)
x(t)=C_(3)e^(4t)+ C_(4)e^(7t)

подставляем в первое уравнение

4С_(3)e^(4t)+7C_(4)e^(7t)=3*C_(3)e^(4t)+3C_(4)e^(7t)-2C_(1)e^(4t)-2C_(2)e^(7t)

4C_(3)=3C_(3)-2C_(1)
7C_(4)=3C_(4)-2C_(2)

C_(3)=-2C_(1)
C_(4)=-(1/2)C_(2)

x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

О т в е т.
x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

2 способ
{x`=3x-2y
{y`=2x+8y ⇒ 2x=y`-8y ⇒ x=(y`-8y)/2 ⇒ x`=(y``-8y`)/2
Подставим х и x` в первое уравнение

((y``-8y`)/2=3*(y`-8y)/2-2y;
y``-8y`=3y`-24y-4y;
y``-11y`+28y=0
Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Составляем характеристическое уравнение
k^2-11k+28=0
D=121-4*28=9
k_(1)=(11-3)/2=4 или k_(2)=(11+3)/2=7

Общее решение однородного уравнения:
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)
Находим
y`=4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)
и подставляем y и y` в выражение для х
х=(y`-8y)/2

x(t)=(4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)-8C_(1)e^(4t)-8C_(2)e^(7t))/2

x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2)С_(2)e^(7t)

О т в е т.
x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК