Задача 32240 Найти предел МАКЛОРЕНОМ Что-то нужно...

vk441744896

2018-12-21 17:09:17

Найти предел МАКЛОРЕНОМ
Что-то нужно разложить в ряд

sova

2018-12-23 10:43:20

★

Используем два табличных разложения:
sinx=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)+ ...
и
(1+x)^( α )
для α =1/2
и
x^2

sqrt(1 + x^2)^(1/2)=1+(1/2)*x^2+(1/2)*((1/2)-1)/2!x^4+ ...
Интегрируем и получаем разложение
ln(sqrt(1+x^2)+x)=x+(1/6)x^3-(1/40)x^5+...

Числитель:

x- ln (sqrt(1+x^2)+x)=x -(x+(1/6)x^3-(1/40)x^5+ ...)=

=- (1/6)x^3+(1/40)x^5

Знаменатель
x-sinx = x - x+ (x^3/3!)-(x^5/5!)+ ..=(x^3/6) - (x^5/5)+ ...

Выносим за скобки x^3 и в числителе и в знаменателе.
Сокращаем на x^3 и получаем ответ
предел равен

(-1/6)/(1/6)= - 1