Задача 12411 На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC...

slava191

20.12.2016

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответсвенно точки K, L и M, причем AK:KB=2:3, BL:LC=1:2, CM:MA=3:1.

а) Докажите, что площади треугольников BKL и KLM равны.
б) В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM?

SOVA

20.12.2016

★

Пусть АК=2х; КВ=3х
BL=y; LC=2y
AM=z; MC=3z
S(ΔBKL)/S(ΔABC)=(3x*y*sin∠B)/(5x*3y*sin∠B)=1/5
S(ΔMCL)/S(ΔABC)=(2y*3z*sin∠C)/(3y*4z*sin∠C)=1/2
S(ΔAKM)/S(ΔABC)=(2x*z*sin∠A)/(5x*4z *sin∠A)=1/10

Тогда
S(ΔKLM)=S(ΔABC)-S(ΔBKL)-S(ΔMCL)-S(ΔAKM)=
=(1-(1/5)-(1/2)-(1/10))S(ΔABC)=(1/5)S(ΔABC)

S(ΔBKL)=S(ΔKLM)=(1/5)S(ΔABC).

Б)ΔBKL и ΔKLM - равновелики и имеют общее основание. Значит и высоты в этих треугольника равны.
Из равенства прямоугольных треугольников следует BF=FM
О т в е т. 1:1