Задача 18237 Решите неравенство...

slava191

14 октября 2017 г.

Решите неравенство

1/(log₃(2x–1)·log_x–19) < (log₃√2x–1) / (log₃(x–1))

SOVA

14 октября 2017 г.

★

ОДЗ:
{2x–1 > 0 ⇒ x > 1/2
{x–1 > 0 и х–1 ≠ 1 ⇒ x > 1 и х ≠ 2
{ log₃(2x–1) ≠ 0 ⇒ 2x–1≠ 1 ⇒ x≠ 1
{log₃(x–1) ≠ 0 ⇒ x–1≠ 1 ⇒ x≠ 2
{log_x–19 ≠ 0 ⇒ x≠ 2

ОДЗ: х ∈ (1;2)U(2;+ ∞)

Так как по формуле перехода к другому основанию:
log_x–19=log₃9/log₃(x–1)=2/log₃(x–1)
и по формуле логарифма степени:
log₃√2x–1=log₃ (2x–1)^1/2=(1/2)log₃(2x–1)

Неравенство принимает вид:

(log₃(x–1))/(log₃(2x–1) – (log₃(2x–1))/(log₃(x–1)) < 0

или

(log²₃(x–1)–log²₃(2x–1))/ (log₃(2x–1)·log₃(x–1)) < 0

или

(log₃(x–1)–log₃(2x–1))(log₃(x–1)+log₃(2x–1))/ (log₃(2x–1)·log₃(x–1)) < 0

(log₃((x–1)/(2x–1))·log₃(x–1)(2x–1)/ (log₃(2x–1)·log₃(x–1)) < 0

Применяем обобщенный метод интервалов:
находим нули числителя.
log₃((x–1)/(2x–1))=0 или log₃(x–1)(2x–1)=0

(x–1)/(2x–1)=1 или (х–1)(2х–1)=1

х–1=2х–1 или 2x²–2x–х+1=1

x=0 или х·(2х – 3) =0 ⇒ х=0 или х=1,5

Нули знаменателя:
log₃(2x–1)=0 или log₃(x–1) = 0
х=1 или х=2

Отмечаем эти точки на ОДЗ
и расставляем знаки

(1) _–_1,5 _+_ (2) ____–____

Выбираем точку например х=10 и находим знак каждого множителя и в числителе и в знаменателе.
Получаем знак –

О т в е т. (1; 1,5)U (2;+ ∞)