Задача 28235 Найдите все значения a, при каждом из...

slava191

01.06.2018

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

system{x^2+y^2+2(a-3)x-4ay+5a^2-6a=0;y^2=x^2}

имеет ровно четыре решения.

SOVA

03.06.2018

★

Второе уравнение системы:
y^2-x^2=0 ⇒ (y-x)*(y+x)=0 ⇒ y=x или y=-x

Данная система равносильна совокупности двух систем:
{x^2+y^2+2(a-3)x-4ay+5a^2-6a=0
{y=x
или
{x^2+y^2+2(a-3)x-4ay+5a^2-6a=0
{y=-x

Решаем каждую способом подстановки
1)
2x^2+(2a-6-4a)x+5a^2-6a=0
квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант положителен
(-2a-6)^2-4*2*(5a^2-6a)=36+24a+4a^2-40a^2+48a=
=-36*(a^2-2a-1) > 0 ⇒ a^2-2a-1 < 0 ⇒
[b]a∈(1-sqrt(2);1+sqrt(2))[/b]

2) 2x^2+(2a-6+4a)x+5a^2-6a=0
квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант положителен
(6a-6)^2-4*2*(5a^2-6a)=36a^2-72a+36-40a^2+48a=
=-4*(a^2+6a-9) > 0 ⇒ a^2+6a-9 < 0 ⇒
[b]a∈(-3-3sqrt(2);- 3+3sqrt(2))[/b]

Данная система будет иметь 4 корня, тогда и только тогда, когда каждая из двух систем, рассмотренных выше имеет два корня.

Так как прямые у=х и у=-х пересекаются в точке (0;0) надо исключить те значения параметра а, при которых
x^2+y^2+2*(a-3)-4ay+5a^2-6a=0 проходит через начало координат и стало быть данная система имеет три корня ( cм. рис.)
5a^2-6a=0
a=0 или а=6/5=1,2

Ответ (1-sqrt(2);0)U(0;1,2)U(1,2; -3+3sqrt(2))