Задача 23301 Перевешиваем...
Условие
Решение
{(3/x) > 0 ⇒ x > 0
{x^2-7x+11 > 0 ⇒ D=49-44=5 ; ( - ∞;(7 - √5)/2) U ((7 +√5)/2;+∞)
{x^2-7x+10+3/x > 0 ⇒ x^2-7x+10 > (-3/x)
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения
log_(7)((3/x)*(x^2-7x+11)) ≤ log_(7) (x^2-7x+10+(3/x))
По свойству монотонности логарифмической функции
большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(3/x)*(x^2-7x+11) ≤ x^2-7x+10+(3/x);
(3/x)*(x^2-7x+10)+(3/x) ≤ x^2-7x+10+(3/x);
(x^2-7x+10)*((3/x)-1) ≤0
(x-2)(x-5)(x-3)/x больше или равно 0
_ (0) _ [2] _+_(7-√5)/2)_+_ ( c) _+_ [3] _ ((7+√5)/2) _( d ) _ [5] +_
Система четырех неравенств приводит к ответу
x ∈ [2;(7-sqrt(5))/2) U [5;+ бесконечность)
Cм. рисунки.
Парабола у=x^2-7x+10 выше гиперболы у =-3/x
при x ∈ (0; c] U [d; + бесконечность)
При 0 < x≤ c и при x≥5
x^2-7x+10+3/x > 0
так как
0 < 2 < (7-sqrt(5))/2 < c
(7+sqrt(5))/2 < d < 5
Получаем ответ.
[2;(7-sqrt(5))/2) U [5;+ бесконечность)
