Задача 35342 При каких значениях параметра уравнение...

vk148077821

2019-04-04 09:28:20

При каких значениях параметра уравнение имеет 2 корня
x^4-(4a-5)x^2+3a^2-5a=0. Помогите пожалуйста решить.

sova

2019-04-04 13:55:49

Это биквадратное уравнение.
Замена переменной:
x^2=t
x^4=t^2
получаем квадратное уравнение:
t^2-(4a-5)t+3a^2-5a=0

D=(4a-5)^2-4*(3a^2-5a)=16a^2-40a+25-12a^2+20a=4a^2+25
D>0 при любом a, значит уравнение имеет два корня.

t_(1)= (4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 или t_(2)= (4a-5+sqrt(4a^2+25))/2

Обратный переход приводит к двум квадратным уравнениям

x^2= (4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 или x^2=(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2

Если одно из уравнений не имеет корней, а второе имеет два корня, то требование задачи будет выполнено

Для этого нужно выполнение условий:

{t_(1) <0
{t_(2) >0

или

{t_(1) >0
{t_(2) <0

{(4a-5-sqrt(4a^2+25))/2<0⇒sqrt(4a^2+25)>4a-5
{(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2 >0⇒sqrt(4a^2+25)>-4a+5

или

{(4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 >0 ⇒ sqrt(4a^2+25)<4a-5
{(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2 <0 ⇒ sqrt(4a^2+25)< -4a+5