Задача 18149 Вычислить определенный интеграл от...

u18817081230

12.10.2017

Вычислить определенный интеграл от квадратичной функции f(l)=-t^2+2t+4 на интервале [0;4] двумя способами: с помощью фор-мулы Ньютона-Лейбница и геометрически, вычисляя площади под графиком функции.

SOVA

12.10.2017

★

∫^4_(0)(-t^2+2t+4)dt=
=((-t^3/3)+t^2+4t))|^4_(0)=-64/3+16+16=32/3

По определению площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=f(x); f(x) больше или равно 0; снизу отрезком [a;b] оси ох ; с боков прямыми х=a и x = b вычисляется по формуле:

S= ∫^(b)_(a)f(x)dx

Для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница
∫^(b)_(a)f(x)dx=F(b)-F(a)

Но в данном случае y=f(t) не является положительной на отрезке [0;3]

В этом случае применяется правило.
Часть фигуры, расположенную ниже оси Ох, отражают симметрично оси Ох.

Тогда
S( фигуры на рис.2)= ∫^(с) _(0) f(t)dt + ∫ ^(4)_(c)(-f(t))dt=

= ∫^(с) _(0) (-t^2+2t+4)dt + ∫ ^(4)_(c)(t^2-2t-4)dt=

=((-t^3/3)+t^2+4t)|^(c)_(0) +((t^3/3)-t^2-4t)|^(4)_(c)=

=(-c^3/3)+c^2+4c-0+(4^3/3)-4^2-4*4-c^3/3+c^2+4c=
=2c^2+8c-2*(c^3/3)+(64/3)-32

(ответ зависит от значения точки с)
с- это точка пересечения графика f(t) c осью Ох.

-t^2+2t+4=0
или
t^2-2t-4=0
D=(-2)^2-4*(-4)=4+16=20
t1=(2-2sqrt(5))/2=1-sqrt(5) или t2=1+sqrt(5)

c=1+sqrt(5)
S=2*(1+sqrt(5))^2+8*(1+sqrt(5))-2*(1+sqrt(5))^3/3+(64/3)-32
- это площадь

32/3=10 целых 2/3

А по клеточкам площадь если сосчитать, то намного больше 10-ти получится. Считаем целые клетки, потом половинки