Задача 46141 Химический комбинат получил заказ на...

slava191

2020-04-06 12:27:09

Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос наполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос наполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий наос наполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всех продукции, если известно, что суммарная производительность всех насосов равна семи цистернам в сутки. [л17]

sova

2020-04-06 13:55:09

★

Пусть производительность
первого насоса x цистерн в сутки,
второго насоса y цистерн в сутки,
третьего насоса z цистерн в сутки.

По условию суммарная производительность всех насосов равна семи цистернам в сутки.

Получаем равенство:

x+y+z=7


Первый насос работал [m]\frac{4}{x}[/m] суток

второй насос работал [m]\frac{16}{y}[/m] суток

третий насос работал [m]\frac{1}{z}[/m] суток

Суммарно время

t=[m]\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}[/m]

Требуется найти минимально возможное значение t при условии,

что x+y+z=7


Умножаем равенство на 7

7t=7*([m]\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}[/m])

Заменяем 7 справа на (x+y+z).

Получаем

[m]7t=(x+y+z)\cdot(\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}[/m])

[m]7t=4+4\frac{y}{x}+4\frac{z}{x}+16\frac{x}{y}+16+16\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1[/m]

[m]7t=21+4(\frac{y}{x}+4\frac{x}{y})+(16\frac{z}{y}+\frac{y}{z})+(4\frac{z}{x}+\frac{x}{z})[/m]

Дроби [m]\frac{x}{y}[/m] и [m]\frac{x}{y}[/m] - взаимно - обратны.

Их произведение равно 1.

Воспользуемся неравенством:
[m] (2\sqrt\frac{x}{y}-\sqrt\frac{y}{x} )^2 ≥ 0[/m] ⇒

[m]4\frac{x}{y}-2\cdot 2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot \frac{y}{x}}+\frac{y}{x} ≥ 0 [/m] ⇒

[m]4\frac{x}{y}+\frac{y}{x} ≥2\cdot 2\cdot \sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=4 [/m]


Аналогично
[m]16\frac{z}{y}+\frac{y}{z} ≥2\cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{z}{y}\cdot\frac{y}{z}}=8 [/m]

[m]4\frac{z}{x}+\frac{x}{z} ≥2\cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{z}{y}\cdot\frac{y}{z}}=4 [/m]


Значит
[m]7t≥21+4\cdot 4+ 8+4=49[/m]

Поэтому наименьшее значение t получим
при
[m]2\sqrt\frac{x}{y}=\sqrt\frac{y}{x}[/m] ⇒

[m]4\frac{x}{y}=\frac{y}{x}[/m] ⇒ [b]y^2=4x^2[/b]

[m]16\frac{z}{y}=\frac{y}{z}[/m] ⇒ [b]16z^2=y^2[/b]

[m]4\frac{z}{x}=\frac{x}{z}[/m] ⇒[b] 4z^2=x^2[/b]

так как x>0; y>0;z>0

значит

при
y=4z
x=2z
y=2x=2*2z)=4z

x+y+z=7

2z+4z+z=7 ⇒ 7z=7 ⇒ z=1

При z=1
x=2
y=4

и

[m]t=\frac{4}{2}+\frac{16}{4}+\frac{1}{1}=7[/m]

О т в е т. 7 суток.