Задача 36643 Решить дифференциальные уравнения(ДУ)...

anna29072000

2019-05-01 14:45:33

Решить дифференциальные уравнения(ДУ)
1)найти общее решение ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными: xyy’=1+y^2
2)найти общее решение однородного ДУ 1-го порядка: xy’=y+xe^(x/2)

sova

2019-05-01 14:54:04

★

1.
y`=dy/dx

xydy=(1+y^2)dx

Разделяем переменные, делим на х*(1+y^2)

ydy/(1+y^2)=dx/x

Интегрируем

∫ ydy/(1+y^2)= ∫ dx/x

(1/2) ∫d(1+y^2)/(1+y^2)= ∫ dx/x

∫d(1+y^2)/(1+y^2)=2 ∫ dx/x

ln|1+y^2|=2lnx+lnC

ln|1+y^2|=lnx^2+lnC

ln|1+y^2|=lnC*x^2

[b]1+y^2=Cx^2[/b] - общее решение

2.
Линейное [b]неоднородное[/b] первого порядка.
Делим на х

[b]y`-(1/x)y=x*e^(x/2)[/b] (#)

Решаем однородное:

y`-(1/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=dx/x


∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+ lnC

y=Cx

Метод вариации

y=C(x)*x

y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в неоднородное (#) :

C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=x*e^(x/2)

C`(x)*x=x*e^(x/2)

C`(x)=e^(x/2)

C(x)= ∫ e^(x/2)dx=2*∫ e^(x/2)d(x/2)=2e^(x/2)+C

y=C(x)*x

y=(2e^(x/2)+C)*x

[b]y=2*x*e^(x/2)+C*x[/b] - о т в е т.