Задача 42102 Найти наибольший член разложения бинома...
Условие
С полным решением , формулами и т.д
Решение
Тогда Т_(k) больше соседа слева и соседа справа:
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)
(cм. приложение С^(k)_(n))
[m]T_{k}=C^{k}_{15}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}=\frac{15!}{k!\cdot(15-k)!}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}[/m]
[m]T_{k-1}=C^{k-1}_{15}(\sqrt{7})^{k-1}\cdot 3^{15-k+1}=\frac{15!}{(k-1)!\cdot(15-k+1)!}(\sqrt{7})^{k-1}\cdot 3^{15-k+1}[/m]
[m]T_{k+1}=C^{k+1}_{15}(\sqrt{7})^{k+1}\cdot 3^{15-k-1}=\frac{15!}{(k+1)!\cdot(15-k-1)!}(\sqrt{7})^{k+1}\cdot 3^{15-k-1}[/m]
Тогда условия системы неравенств принимают вид:
{[m]\frac{15!}{k!\cdot(15-k)!}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}>\frac{15!}{(k-1)!\cdot(15-k+1)!}(\sqrt{7})^{k-1}\cdot 3^{15-k+1} [/m]
{[m]\frac{15!}{k!\cdot(15-k)!}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}>\frac{15!}{(k+1)!\cdot(15-k-1)!}(\sqrt{7})^{k+1}\cdot 3^{15-k-1}[/m]
Упрощаем:
k!=1*2*3*...*(k-1)*(k)
(k-1)!=1*2*3*...*(k-1)
Поэтому сокращаем на (k-1)!
Останется (k) там, где был k!
[m]\left\{\begin{matrix}\frac{1}{k} \cdot \sqrt{7}>\frac{1}{16-k}\cdot 3 & \\ \frac{1}{15-k}\cdot 3>\frac{1}{k+1}\cdot (\sqrt{7})& \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{7}}{3} >\frac{k}{16-k}& \\ \frac{k+1}{15-k}>\frac{\sqrt{7}}{3}& \end{matrix}\right.[/m]
Аналогично:
k!=1*2*3*...*(k-1)*(k)
(k+1)!=1*2*3*...*k*(k+1)
Cокращаем на k!
Остается только последний множитель (k+1) там, где был (k+1)!
{sqrt(7)*(16-k)>3k
{3(k+1)>sqrt(7)*(15-k)
sqrt(7) ≈ 2,64
{k< ≈ 7,5
{k> ≈ 6,9
[b]k=7[/b]
Т_(7)=C^(7)_(15)*(sqrt(7))^(7)*(3)^(15-7) =45*11*13*7^3*sqrt(7)*3^(8)
- наибольший член разложения данного бинома.