Задача 22320 Доказать, что функция y=|x| не имеет...

u94102122148

13.01.2018

Доказать, что функция y=|x| не имеет производной в точке x0=0

SOVA

13.01.2018

★

По определению производной в точке.
Производная - предел отношения приращения функции к приращению аргумента

f`(x_(o))=lim_( Δx→0)Δf/Δx

х_(о)=0
х_(о)+ Δх
f(x_(o))=0
f(x_(0)+ Δx)=f(0+ Δx)=f( Δx)=| Δx|
Приращение функции
Δf= f(x_(0)+ Δx)-f(x_(o))=
=f(0+ Δx)-f(0)=f( Δx)=| Δx|

При Δх > 0
lim_(Δx→0+0) Δx/ Δx=1
При Δx < 0
lim_(Δx→0-0) (-Δx)/ Δx=-1
Предел в точке 0 не существует, потому что пределы слева и справа различны, и производная в точке 0 не существует.
Что и требовалось доказать

vk397114329

13.01.2018

Функция у=|x| непрерывна в любой точке числовой оси,в том числе и в точке Xо=O. Но в точке Xо=0 данная функция производной не имеет потому, что Δу(0)/ Δх=(у(0+ Δх)-у(0))/ Δх=у( Δх)/ Δх=| Δх|/ Δ={ 1 при Δх > o.
{-1 при Δх < o.
Поэтому предел Δу(0)/ Δх при Δ х стремится к нулю не существует и не существует производной функции у=|x| в точке Xо=0.