Задача 29116 7. Непрерывная случайная величина X...

slava191

28.07.2018

7. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Найти дифференциальную функцию g(y) случайной величины Y, если:

а) Y = Х+1 (— оо < х < оо);
б) Y = 2Х (— а < х < а).

SOVA

29.07.2018

★

а)
Так как функция y=x+1 строго возрастает и дифференцируема на (- бесконечность ;+ бесконечность ) применяем формулу
g(y)=g(ψ(y))*|ψ`(y)|
где ψ(y) - функция, обратная y = x+1

Находим ψ(y)=y-1

f(ψ(y))=f(y-1)
ψ`(y)=(y-1)`=1

f((ψ(y))|ψ`(y)|=f(y-1)*|1|=f(y-1)
-∞ < x < +∞;
-∞ < y-1 < +∞
--∞ < y < +-∞

б)
Так как функция y=2x строго возрастает и дифференцируема на (- а ;+ а ) применяем формулу
g(y)=g(ψ(y))*|ψ`(y)|
где ψ(y) - функция, обратная y = 2х.

Находим ψ(y)=y/2

f(ψ(y))=f(y/2)
ψ`(y)=(y/2)`=1/2

f((ψ(y))|ψ`(y)|=f(y/2)*|1/2|=(1/2)*f(y/2)
-a < x < a;
-a < y/2 < a
--2a < y < 2a

О т в е т.
а) g(y)=f(y-1) (- бесконечность < y < + бесконечность )
б) g(y)=(1/2)f(y/2) (-2a < y < 2a)