Задача 48470 ...

azizbek51819

27 апреля 2020 г. в 08:29

∫ from 1/3 to ∞ of dx / ((1 + 9x²) · arctg²(3x))

sova

27 апреля 2020 г. в 10:38

★

так как (arctg 3x)`=[m]\frac{(3x)`}{1+(3x)^2}[/m], то

d(arctg 3x)==[m]\frac{3}{1+(3x)^2}dx[/m]

Несобственный интеграл первого рода с бесконечным верхним пределом.

Применяем формулу Ньютона–Лейбница

∫ ^{+ ∞} _af(x)dx=F(x)|^{+ ∞} _a=F(+ ∞ )–F(a),

где F(+ ∞ )=lim_{x → + ∞} F(x)


[m] \int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} \frac{dx}{(1+9x^2)\cdot arctg^23x}=

\frac{1}{3}\int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} \frac{d(arctg3x)}{arctg^23x}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{3}\int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} arctg^{-2}3x d(arctg 3x)=[/m]

[m]=\frac{1}{3}(-\frac{1}{arctg3x})|^{+\infty}_{\frac{1}{3}}=[/m]

F(+ ∞ )=lim_{x → + ∞} F(x)

arctg(+ ∞ ) = lim_{x → + ∞} arctg3x=[m]\frac{\pi}{2}[/m]

[m]=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{arctg1}=[/m]

arctg1=[m]\frac{\pi}{4}[/m]

[m]=-\frac{2}{3 \pi}+\frac{4}{3 \pi}=\frac{2}{3 \pi}[/m]