y`=z(x)
y``=z`(x)
(1+x^2)*z`=1+z^2
z`=dz/dx
(1+x^2)*dz=(1+z^2)dx
dz/(1+z^2)=dx/(1+x^2)
∫ dz/(1+z^2)= ∫ dx/(1+x^2)
arctgz=arctgx +C_(1)
обратный переход
acctgy`=arctgx+arctg C_(1)
y`=tg(arctgx+arctgC_(1))
Формула: tg( α+ β )=
y`=tg(arctgx)+tg(arctgC)/(1-tg(arctgx)*tg(arctgC))
y`=(x+C_(1))/(1-C_(1)x)
dy/dx=(x+C_(1))/(1-C_(1)x)
dy=(x+C_(1))dx/(1-C_(1)x)
y= ∫ (x+C_(1))dx/(1-C_(1)x)= ∫ xdx/(1-_(1)Cx) + ∫ C_(1)dx/(1-_(1)Cx)=
=(-1/C_(1))∫(-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=
=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x+1)dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=
=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) - (1/C_(1))∫dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=
=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) + (1/C^2_(1))∫(-C_(1))dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=
=(-1/С_(1))х +(1/C_(1)^2)ln|1-C_(1)x|- ln_(1-C_(1)x|+C_(2)
2.
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное
y``-9y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9=0
k1= k2=3– корни действительные кратные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Asinx+Bcosx
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=Acosx-Bsinx
y``_(част)=-Asinx-Bcosx
подставляем в данное уравнение:
-Asinx-Bcosx-9Asinx-9Bcosx=4sinx
Приравниваем коэффициенты у синусов:
-A-9A=4
и у косинусов
-B-9B=0
-10A=4
A=-0,4
B=0
О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=
= [b]С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)-0,4sinx[/b]