Задача 36407 ...

qwe6

25 апреля 2019 г. в 18:06

Раздел II. Дифференциальные уравнения II порядка.

Найти общее решение дифференциального уравнения

(1 + x²)y" = 1 + y'²,
y" – 9y = 4sinx.

sova

25 апреля 2019 г. в 19:06

★

1. Замена переменной:
y`=z(x)
y``=z`(x)

(1+x²)·z`=1+z²

z`=dz/dx

(1+x²)·dz=(1+z²)dx

dz/(1+z²)=dx/(1+x²)


∫ dz/(1+z²)= ∫ dx/(1+x²)

arctgz=arctgx +C₁

обратный переход

acctgy`=arctgx+arctg C<sub>1</sub>
y`=tg(arctgx+arctgC₁)

Формула: tg( α+ β )=

y`=tg(arctgx)+tg(arctgC)/(1–tg(arctgx)·tg(arctgC))

y`=(x+C₁)/(1–C₁x)

dy/dx=(x+C₁)/(1–C₁x)

dy=(x+C₁)dx/(1–C₁x)

y= ∫ (x+C₁)dx/(1–C₁x)= ∫ xdx/(1–₁Cx) + ∫ C₁dx/(1–₁Cx)=

=(–1/C₁)∫(–C₁x)dx/(1–C₁x) – ∫ (–C₁)dx/(1–C₁x)=

=(–1/C₁)∫(1–C₁x+1)dx/(1–C₁x) – ∫ (–C₁)dx/(1–C₁x)=

=(–1/C₁)∫(1–C₁x)dx/(1–C₁x) – (1/C₁)∫dx/(1–C₁x) – ∫ (–C₁)dx/(1–C₁x)=

=(–1/C₁)∫(1–C₁x)dx/(1–C₁x) + (1/C²₁)∫(–C₁)dx/(1–C₁x) – ∫ (–C₁)dx/(1–C₁x)=


=(–1/С₁)х +(1/C₁²)ln|1–C₁x|– ln_(1–C₁x|+C₂


2.

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное

y``–9y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k²–9=0

k1= k2=3– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_одн.=С₁·e^3x+C₂·x·e^3x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_част=Asinx+Bcosx


Находим производную первого, второго порядка

y`_част=Acosx–Bsinx

y``_част=–Asinx–Bcosx


подставляем в данное уравнение:

–Asinx–Bcosx–9Asinx–9Bcosx=4sinx

Приравниваем коэффициенты у синусов:
–A–9A=4
и у косинусов
–B–9B=0

–10A=4
A=–0,4
B=0

О т в е т.
Общее решение :
у=y_одн.+y_част=

= С₁·e^3x+C₂·x·e^3x–0,4sinx