Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, а точка – фокусом параболы.
Cм. рис. 1
F - фокус параболы.
M - точка параболы
MD ⊥ d, d- директриса.
Треугольник FMD - равнобедренный (FM=MD по определению параболы)
MP- высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
MP - серединный перпендикуляр к FD
MP - касательная к параболе.
Покажем, что M - единственная точка касания касательной и параболы, лежащая на биссектрисе MP.
Возьмем точку M_(1), лежащую на биссектрисе MP
M_(1) ≠ M
Проведем перпендикуляр M_(1)D_(1) ⊥ d ( d - директриса)
FM_(1)=M_(1)D - по свойству серединного перпендикуляра
Но
M_(1)D > M_(1)D_(1) ( наклонная больше перпендикуляра)
Значит,
FM_(1) > M_(1)D и точка M_(1) не принадлежит параболе.
Касательная к параболе МР - биссектриса ∠FMD
∠ FMP = ∠ MPD
∠ MPD = ∠ BMC - как вертикальные.
∠ FMP = ∠ BMC, значит касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом FМ и лучом МB, выходящим из точки M и сонаправленным с осью параболы.
Угол падения равен углу отражения, это означает, что луч направленный из фокального радиуса в точку M параболы, отразится в направлении луча MB,т.е по прямой параллельной оси Ох ( оси симметрии параболы)
Это и есть оптическое свойство параболы:
луч света, исходящий из фокуса параболы, отразившись от нее, идет по прямой, перпендикулярной директриcе и стало быть параллельной оси параболы.
См. рис.2