Задача 21832 Провести исследование и построить график...

vk340246274

27 декабря 2017 г.

Провести исследование и построить график y=3x²/(x²+1)

SOVA

28 декабря 2017 г.

★

1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция является четной.
у(–х)=3(–х)²/((–x)²+1)=3x²/(x²+1)
y(–x)=y(x)

3)limx→ +∞)f(x)=+3
limx→–∞f(x)=+3.
y=3 – горизонтальная асимптота

Наклонной асимптоты нет, так как
k=limx→∞(f(x))/x=0

4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
3x²/(x²+1)=0
x²=0
x=0
C осью Оу
х=0 ⇒ у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Ох и с осью Оу.

5)
y`=((3x<sup>2</sup>)`·(x²+1)–(x²+1)`·(3x<sup>2</sup>))/(x<sup>2</sup>+1)<sup>2</sup>;
y`=6x/(x²+1)
y`=0
6x=0
x=0

Знак производной

_–__ (0) ___+___

x=0 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

Функция убывает при x∈ (–∞;0) и
возрастает при x∈ (0;+∞)

у(0)=0 – наименьшее значение функции

6)y``=(6x)`(x<sup>2</sup>+1)<sup>2</sup>–((x<sup>2</sup>+1)<sup>2</sup>)`·6x)/(x<sup>2</sup>+1)<sup>4</sup>=
=(6–18x<sup>2</sup>)/(x<sup>2</sup>+1)<sup>3</sup>
y``=0
6–18x²=0
x= ± √(1/3) –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–√(1/3)) и на (√(1/3);+ ∞ )
выпукла вниз на (–√(1/3);√(1/3))