Задача 32594 Дана плотность распределения случайной...

vk476790620

2019-01-08 22:22:57

Дана плотность распределения случайной величины икс, найти параметр а.

sova

2019-01-08 23:29:23

★

1)По свойству плотсности:
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1 ⇒

a *∫ ^(π/6)_(0)sin2xdx=1
a*(-(1/2)cos(2x))|^(π/6)_(0)=1

a*((-1/2)*cos(π/3)+(1/2)cos0)=1

a*(1/2)=1

a=2

F(x)= ∫^(x) _(- ∞ )f(x)dx

При x < 0 f(x)=0
F(x)=0
При 0 < x < π/6
F(x)= ∫ ^(x)_(- ∞)f(x)dx= ∫^(0) _( ∞ )0dx + ∫ ^(x)_(0)2sin2xdx=

=0+(-cos2x)|^(x)_(0)=-cos2x+1

При x > π/6
F(x)= ∫^(x) _( -∞ )f(x)dx= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^(π/6)_(0)2sin2xdx + ∫ ^(x)_(π/6)0dx=0+1+0

M(x)= ∫^(+ ∞)_( -∞) x*f(x)=0+ ∫ ^(π/6)_(0)x*(2sin2x)dx+0=

интегрируем по частям:
u=x; du=dx
dv=2sin2xdx; v=-cos2x

=(-xcos2x)|^(π/6)_(0) + ∫^(π/6)_(0) cos2xdx=

=-(π/6)*cos(π/3)+0 +(1/2)sin2x|^(π/6)_(0)=

=(-π/12)+(1/2)sin(π/3)=(sqrt(3)/4)-(π/12)

Р(x_(1)<x<x_(2))=F(x_(2))-F(x_(1))= -cos(2*(π/8))+1-(-cos0+1)=

=1-cos(π/4)=1-(sqrt(2)/2)