Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 11867 Найдите сумму всех целых чисел x[-11;5],...

Условие

Найдите сумму всех целых чисел x[-11;5], удовлетворяющих неравенству (-3ctg^2(Pix/12))(1-ctg^2(Pix/12))(1-ctgPix/4*tgPix/6) < = 16

математика 10-11 класс 1217

Решение

ОДЗ:{sin(πx/12)≠0; х≠12k, k– целое
{sin (πx/4)≠0; x≠4m, m– целое
{cos(πx/6)≠0; x≠3+6s, s – целое.

Из них указанному отрезку не принадлежат:
0.
–8;–4; 4.
–9;–3;3.

Замена переменной
πx/12=t; πx/6=2t; πx/4=3t.

Так как
ctgt=sint/cost,
tgt=cost/sint,
sin3t*cos2t-cos3t*sin2t=sin(3t-2t)=sint,
sin3t=3sint-4sin^3t

неравенство принимает вид
(sin^2t-3cos^2t)*(sin^2t-cos^2t)*sint/(sin^4t*sin3t)*cos2t≤16

(4sin^2t-1)*(4sin^2t+1)*(4sin^2t-3)/(sin^3t*sin3t)≤ 0

4sin^2t+1 > 0 при любом х

(2sint-1)*(2sint+1)*(2sint-sqrt(3))*(2sint+sqrt(3))/(sint*sin3t)≤ 0
Неравенство верно, если
1) π/3 < t < 2π/3;
2) -2π/3 < t < -π/3;
3)π/6 ≤ t < π/3;
4)2π/3 < t ≤ 5π/6;
5)-5π/6 ≤ t < 2π/3;
6)-π/3 < t ≤ -π/6.
Возвращаемся к переменной х:
1) π/3 < πx/12 < 2π/3;
2) -2π/3 < πx/12 < -π/3;
3)π/6 ≤ πx/12 < π/3;
4)2π/3 < πx/12 ≤ 5π/6;
5)-5π/6 ≤πx/12 < 2π/3;
6)-π/3 < πx/12 ≤ -π/6.

1) 4 < x < 8; х=5
2) -8 < x < -4; х=-7;-6;-5
3)2 ≤ x < 4; х=3 не входит в ОДЗ х=2
4)8 < х ≤10; не входит в [-11;5]
5)-10 ≤ x < -8; х=-9 не входит в ОДЗ.х=-10
6)-4 < x ≤-2. х=-3 не входит в ОДЗ х=-2

О т в е т. 2-10-2+5-7-6-5=-23

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК