Задача 27430 9.6. Один из углов треугольника равен...

slava191

13.05.2018

9.6. Один из углов треугольника равен разности двух других, наименьшая сторона тре­угольника равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сто­ронах, вдвое больше площади описанного около треугольника круга. Найдите наи­большую сторону треугольника.

SOVA

28.05.2018

★

Пусть один угол альфа , второй бета , третий бета - альфа
Сумма углов треугольника равна 180 градусов
альфа + бета + бета - альфа =180 градусов.
2* бета =180 градусов
бета =90 градусов.

Значит, треугольник прямоугольный.
Пусть наименьший катет а=1
второй катет b; гипотенуза с
Гипотенуза прямоугольного треугольника - диаметр описанной окружности.
R=c/2
S(круга описанного около треугольника)=Pi*R^2=Pi*c^2/4
Так как
b^2+c^2=2*S(круга описанного около треугольника)

[b]b^2+c^2=2*Pi*c^2/4[/b]

По теореме Пифагора
a^2+b^2=c^2
b^2=c^2-1

c^2-1+c^2=Pi*c^2/2
(4-Pi)c^2=2
c^2=2/(4-Pi)
c=sqrt(2/(4-Pi))

О т в е т. sqrt(2/(4-Pi))