Задача 50861 ...

vk169585692

19 мая 2020 г. в 17:42

3. Показать, что функция z = arccsin(xy) удовлетворяет уравнению

x/у . ∂²z/∂x² + у/x . ∂²z/∂y² – 2 ∂²z/∂x∂y + 2/у . ∂z/∂x = 0.

sova

19 мая 2020 г. в 21:08

★

∂z/ ∂x=[m]\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\cdot (xy)`_{x}=\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m];

∂z/ ∂y=[m]\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\cdot (xy)`_{y}=\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m].



∂²z/ ∂x²=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{x}=y\cdot ((1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{x}=[/m]

[m]=-\frac{1}{2}y(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{x}=\frac{xy^3}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m];



∂²z/ ∂x ∂y=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y}=(y\cdot (1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=[/m]

[m]= (1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}}+(-\frac{1}{2})y(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{y}=[/m]

[m]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2y^2}}+\frac{x^2y^2}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m];



∂²z/ ∂y²=[m](\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y}=x\cdot ((1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=[/m]

[m]=-\frac{1}{2}x(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{y}=\frac{x^3y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m].

Подставляем в уравнение и получаем доказательство