Задача 14515 [block](5^x)/(6) + (3*25^x - 2*5^(x+1) -...

SOVA

25 марта 2017 г.

★

Замена переменной
5^x=t
5^x+1=5^x·5=5t
25^x=(5²)^x=(5^x)²=t²

Неравенство принимает вид
(t/6)+(3t²–10t–25)/(t²–24t–25)–(5/6) ≥ 0.

t²–24t–25=(t+1)(t–25)
D=24²–4·(–25)=576+100=676
t=–1 или t=25

(t³–11t²+35t–25)/(6(t+1)(t–25))≥ 0;

(t–5)·(t²–6t+5)/(t+1)(t–25)≥ 0;
t²–6t+5=0
D=36–20=16
t=1 или t=5

(t–5)²(t–1)/(t+1)(t–25)≥ 0.
Применяем метод интервалов.

__–__ (–1) __+__ [1] ___–___ [5] ___–_____ (25) __+__

–1 < t ≤ 1
t > 25

Учитывая, что t=5^x и t > 0 при любом х

0 < 5^x ≤ 1=5⁰ ⇒ x ≤ 0
5^x > 25 ⇒ x > 2

О т в е т. (–∞;0] U (2;+∞)