Задача 33888 Sin2x + 2cos^2x + cosx = 0...
Условие
Решение
sin2x=2*sinx*cosx
Тогда уравнение примет вид:
2*sinx*cosx+2*cos^2x+cosx=0
cosx*(2sinx+2cosx+1)=0
cosx=0 или 2sinx+2cosx+1=0
[b]сosx=0[/b] ⇒ x=(π/2)+πm, m ∈ Z
или
[b]2sinx+2cosx+1=0[/b]
Так как
sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2),
то получим уравнение:
4sin(x/2)*cos(x/2)+2cos^2(x/2)-2sin^2(x/2)+cos^2(x/2)+sin^2(x/2)=0
3cos^2(x/2)+4sin(x/2)*cos(x/2)-sin^2(x/2)=0
однородное тригонометрическое уравнение
Делим на cos^2(x/2)≠ 0
tg^2(x/2) -4tg(x/2) -3=0
D=16+12=28
tg(x/2)=(4-2sqrt(7))/2 или tg(x/2)=(4+2sqrt(7))/2
tg(x/2)=2-sqrt(7) или tg(x/2)=2+sqrt(7)
x/2=arctg(2-sqrt(7))+πk или x/2=arctg(2-sqrt(7))+πn, k,n ∈ Z
x=2arctg(2-sqrt(7))+2πk или x=2arctg(2-sqrt(7))+2πn, k,n ∈ Z
О т в е т.
(π/2)+πm;2arctg(2-sqrt(7))+2πk;2arctg(2-sqrt(7))+2πn, m, k,n ∈ Z
Для решения уравнения
[b]2sinx+2cosx+1=0[/b]
можно приметить метод введения вспомогательного угла.
sinx+cosx=-1/2
Делим обе части уравнения на sqrt(2):
(1/sqrt(2)) sinx + (1/sqrt(2))cosx= -1/2sqrt(2);
пусть
sin φ =1/sqrt(2); cos φ =1/sqrt(2)⇒ φ =π/4
тогда уравнение можно записать так:
sinx*sin(π/4)+cosx*cos(π/4)=-1/2sqrt(2)
cos(x - (π/4))= - sqrt(2)/4; 1/2sqrt(2)=sqrt(2)/4
x - (π/4)= ± arccos( - sqrt(2)/4)+ 2πn, n ∈ Z
x=(π/4) ± ( π - arccos(sqrt(2)/4)) + 2πn, n ∈ Z
О т в е т.
x=(π/4) ± ( π - arccos(sqrt(2)/4)) + 2πn, n ∈ Z
и
О т в е т.
2arctg(2-sqrt(7))+2πk ; 2arctg(2-sqrt(7))+2πn, k,n ∈ Z
это один и тот же ответ
Все решения
