Задача 33888 Sin2x + 2cos^2x + cosx = 0...

vk393466386

25 февраля 2019 г. в 14:51

Sin2x + 2cos²x + cosx = 0

sova

25 февраля 2019 г. в 15:08

★

По формулам двойного угла
sin2x=2·sinx·cosx
Тогда уравнение примет вид:
2·sinx·cosx+2·cos²x+cosx=0

cosx·(2sinx+2cosx+1)=0

cosx=0 или 2sinx+2cosx+1=0

сosx=0 ⇒ x=(π/2)+πm, m ∈ Z

или

2sinx+2cosx+1=0

Так как
sinx=2sin(x/2)·cos(x/2)
cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2)
1=cos²(x/2)+sin²(x/2),

то получим уравнение:
4sin(x/2)·cos(x/2)+2cos²(x/2)–2sin²(x/2)+cos²(x/2)+sin²(x/2)=0

3cos²(x/2)+4sin(x/2)·cos(x/2)–sin²(x/2)=0

однородное тригонометрическое уравнение

Делим на cos²(x/2)≠ 0

tg²(x/2) –4tg(x/2) –3=0

D=16+12=28

tg(x/2)=(4–2√7)/2 или tg(x/2)=(4+2√7)/2

tg(x/2)=2–√7 или tg(x/2)=2+√7

x/2=arctg(2–√7)+πk или x/2=arctg(2–√7)+πn, k,n ∈ Z

x=2arctg(2–√7)+2πk или x=2arctg(2–√7)+2πn, k,n ∈ Z

О т в е т.
(π/2)+πm;2arctg(2–√7)+2πk;2arctg(2–√7)+2πn, m, k,n ∈ Z



Для решения уравнения
2sinx+2cosx+1=0
можно приметить метод введения вспомогательного угла.

sinx+cosx=–1/2

Делим обе части уравнения на √2:

(1/√2) sinx + (1/√2)cosx= –1/2√2;

пусть
sin φ =1/√2; cos φ =1/√2⇒ φ =π/4

тогда уравнение можно записать так:

sinx·sin(π/4)+cosx·cos(π/4)=–1/2√2

cos(x – (π/4))= – √2/4; 1/2√2=√2/4

x – (π/4)= ± arccos( – √2/4)+ 2πn, n ∈ Z

x=(π/4) ± ( π – arccos(√2/4)) + 2πn, n ∈ Z

О т в е т.
x=(π/4) ± ( π – arccos(√2/4)) + 2πn, n ∈ Z

и

О т в е т.

2arctg(2–√7)+2πk ; 2arctg(2–√7)+2πn, k,n ∈ Z

это один и тот же ответ