Задача 32550 ...

vk259812788

2019-01-05 13:20:16

Для функции y=f(x), которая при x≠0 задается формулой, приведенной в нижеследующей таблице,
a) доопределить её по непрерывности при x=0;
b) вычислить её производную в точке х=0;
с) вычислить её производную в любой точке x≠0.
f(x) [r]x[/r]sinx+1/1+x^(2)+tgx/x

sova

2019-01-05 17:01:41

а)
lim_(x→0)(sinx+(1/(1+x^2))+(tgx/x))=

=lim_(x→0)(sinx)+lim_(x→0)(1/(1+x^2))+lim_(x→0)(tgx/x)=

=0+1+1=2

Функция не определена в точке х=0, но предел есть, он равен 2
Его и принимают за значение функции.
f(0)=2
Это называется доопределением функции по непрерывности

2)
f`(0)=lim_( Δx→0) Δf/ Δx

Δf=f(0+ Δx)-f(0)=sin(0+ Δx)+(1)/(1+(0+ Δx)^2)+tg(0+ Δx)/(0+ Δx)-2=

=sin Δx+(1)/(1+( Δx)^2)+tg(Δx)/( Δx) - 2

f `(0)=lim_( Δx→0)= lim_( Δx→0)sin Δx/ Δx =1

c)
f`(x)=cosx - 2x/(1+x^2)^2 + ((x/cos^2x)-tgx)/(x^2)