Задача 26985 4.50) arcsin2x=arccos|x|...

slava191

02.05.2018

4.50) arcsin2x=arccos|x|

SOVA

02.05.2018

★

cos(arcsin2x)=cos(arccos|x|)

cos(arccosa)=a, |a| меньше или равно 1

Пусть
arcsin2x= альфа ⇒ sin альфа =2x; |2x| меньше или равно 1 ⇒
|x| меньше или равно 1/2
альфа ∈ [-Pi/2;Pi/2]

cos(arcsin2x)=cos альфа = sqrt(1-sin^2 альфа ) =
(Знак + так как альфа ∈ [-Pi/2;Pi/2], косинус в 1-й и 4-1 четвертях имеет знак +)
= sqrt(1-(2x)^2)= sqrt(1-4x^2)

Уравнение
cos(arcsin2x)=cos(arccos|x|)
принимает вид:
sqrt(1-4x^2)=|x|

sqrt(1-4x^2)=|x|
Возводим в квадрат
{|x| меньше или равно 1/2
{1-4x^2=x^2
5x^2=1
x^2=1/5
x= ± 1/sqrt(5)

x=(-1/sqrt(5)) - посторонний корень

arcsin(-2/sqrt(5)) ∈ [-Pi/2;0]
arccos|-1/sqrt(5)|∈ [0;Pi]

О т в е т. 1/sqrt(5)