Задача 17942 Докажите, что сумма радиусов вписанной и...

slava191

06.10.2017

Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике равна полусумме катетов.

u9113522237

06.10.2017

1) r=S△/p
S△=ab/2;p=(a+b+c)/2
r=ab/(a+b+c)=ab(a+b-c)/((a+b+c)(a+b-c))=ab(a+b-c)/((a+b)²-c²)=ab(a+b-c)/(a²+b²+2ab-c²)=ab(a+b-c)/(2ab)=(a+b-c)/2
2) R=c/2
3) r+R=(a+b-c)/2+c/2=(a+b)/2.