Задача 38330 Найти сумму ряда ...

vk436820776

2019-06-23 13:35:51

Найти сумму ряда

sova

2019-06-23 14:09:03

★

Раскладываем дробь на простейшие.

n^2+4n+3=(n+1)(n+3)

тогда

8/(n^2+4n+3)= A/(n+1)+ B/(n+3)

8=(A+B)n+(3A+B)

A+B=0
3A+B=8

2A=8
A=4
B=-4

S_(n)= ∑ ^(n)_(1)(4/(k+1) - 4/(k+3))=

=(4/2) - (4/4)+
+(4/3) - ( 4/5)+
+(4/4) - (4/6)+
+(4/5) - (4/7)+

...
+4/(n-1) - 4/(n+1)+

+(4/n) - 4/(n+2) +

+4/(n+1) - 4/(n+3)


S_(n)=(4/2) + (4/3) + ... - 4/(n+2) - 4/(n+3)

=(10/3)+ ... - 4/(n+2) - 4/(n+3)

По определению:

S=lim_(n → ∞ )S_(n)=10/3