Задача 22090 ...

u19422813205

08.01.2018

Помогите решить дифференциальное уравнение:

y′+ (x/1+x²)·y = x , y(0) = 1

SOVA

08.01.2018

★

Это линейное уравнение вида
y′+ p(x)·y =f(x)

Будем искать решение в виде
у=u(x)*v(x)

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(x/(1+x^2))*u*v=x

u`*v+u*(v`+(x/(1+x^2)*v)=x (#)

Пусть
v`+(x/(1+x^2)*v =0
Это уравнение с разделяющимися переменными

dv/v=-(xdx/(1+x^2))

Интегрируем
∫ dv/v=-∫(xdx/(1+x^2))
ln|v|=-(1/2) ln(1+x^2)
v=1/sqrt(1+x^2)

Подставляем найденное v в (#)
u`*(1/sqrt(1+x^2))=x
u`=xsqrt(1+x^2)
u= ∫ xsqrt(1+x^2)dx=(1/2)*(1+x^2)^(3/2)/(3/2)+C

y=u*v=(1/sqrt(1+x^2))*((1/3)*(1+x^2)*sqrt(1+x^2)+C)

у=((x^2+1)/3) + (C/sqrt(1+x^2))

y(0)=1
1=(1/3)+C
C=2/3

y=(x^2+1)/3 + (2/(3*sqrt(1+x^2)))