Задача 34914 Найти частное решение дифференциального...

olga1007

25 марта 2019 г. в 16:30

Найти частное решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям.

sova

25 марта 2019 г. в 19:00

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k²–4k+13=0
D=16–4·13=–36
k₁=2–3i; k₂=2+3i– корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_одн.=e^2x·(С₁sin3x+C₂cos3x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_част=Ax+B

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_част=A

y``_част=0

0–4A+13Ax+13B=26x+5

13A=26

A=2

В=1

y_част=2х+1

Общее решение :
у=y_одн.+y_част= e^2x·(С₁sin3x+C₂cos3x)+2х+1


y(0)=1

1=С₁·0+С₂·1+1

С₂=0

у`=e<sup>2x</sup>·(2x)`(С₁sin3x+C₂cos3x)+e^2x·(3C₁cos3x–3C₂sin3x)+(2х)`+(1)`


у`=e^2x·(2С₁sin3x+2C₂cos3x+3C₁cos3x–3C₂sin3x)+2

y`(0)=0

0=2C₂+3C₁+2

C₁=–2/3

у_Коши= e^2x·(–2/3)sin3x+2х+1