Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10510 Найдите все значения а, при каждом из...

Условие

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

8x^6+4x^2 = (3x+5a)^3+6x+10a

не имеет корней.

математика 10-11 класс 12802

Решение

Пусть 4х^2=t,
возводим обе части в куб.
64х^6=t^3 ⇒ 8x^6=t^3/8.

Пусть 6х+10а=u или 2(3х+5a)=u
Возводим обе части в куб
8(3x+5a)^3=u^3 ⇒ (3x+5a)^3=u^3/8

Левая и правая части данного уравнения имеют одинаковую структуру.
Рассмотрим функцию
f(z)=(z^3/8)+z.
Данное уравнение можно представить в виде:
f(t)=f(u)
Исследуем функцию f(z) на монотонность.
f`(z)=(3z^2/8)+1.
f`(z) > 0 при любом z, значит функция y=f(z) монотонно возрастает при любом z.
Если значения функции в точках t и u равны, то равны и аргументы
f(t)=f(u)⇒ t=u
Отсюда следует, что данное уравнение имеет решение, если имеет решение уравнение t=u .
И обратно, данное уравнение не имеет корней, если не имеет корней уравнение t=u .
Рассмотрим уравнение t=u
Запишем его с переменной х
4x^2=6x+10a
4x^2-6x-10a=0
Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.
D=(-6)^2-4•4•(-10a)=36+160a
D < 0
36+160a < 0 ⇒ 160a < -36 ⇒ a < -9/40.
О т в е т. (- ∞; -9/40).

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК