Задача 33802 Решить уравнение с параметром (ЕГЭ)...
Условие
Решение
если (5/x) - 3≥0 ⇒ (5-3x)/x ≥ 0, т. е (3x-5)/x≤ 0 ⇒ 0 < x ≤ 5/3
|(5/x)-3|=(5/x)-3
Уравнение
(5/x)-3=ax-2
ax^2+x-5=0
должно иметь один или два корня на (0;5/3],
т. е парабола
y=ax^2+x-5 должна пересекать ось ох в одной или двух точках на (0;5/3].
Необходимым и достаточным условием выполнения этого требования являются следующие
(1)
D=1-4*a*(-5)=1+20a ≥ 0 ( обеспечивает наличие одного или двух корней)
(2)
a*f(5/3) > 0 обеспечивает расположение параболы левее точки (5/3) или правее точки (5/3)
(3)
x_(o)=-1/(2a)
(-1/2a) < (5/3) ( исключает расположение параболы правее точки (5/3))
{1+20a ≥ 0 ⇒ a ≥ -1/20;
{a*((a*25/9)+(5/3)-5) >0 ⇒ a*(25a-30) > 0 ⇒ a < 0 или a > 6/5
{ (-1/2a)< 5/3 ⇒ (1/2a)+(5/3) > 0 ⇒ (3+10a)/(6a) > 0 ⇒ a < - 0,3 или a >0
[b]a∈ (6/5;+ ∞)[/b]
2.
если (5/x) - 3< 0 ⇒ (5-3x)/x < 0, т. е (3x-5)/x > 0 ⇒x < 0 или x > 5/3
|(5/x)-3|= - (5/x)+ 3
Уравнение
- (5/x)+3=ax- 2
ax^2-5x+ 5=0
должно иметь два корня на ( 5/3;+ ∞ )
т. е. парабола y=ax^2-5x+ 5 должна пересекать ось ох в двух точках на ( 5/3;+ ∞ ).
Необходимым и достаточным условием выполнения этого требования являются следующие
(1) D=25-4*a*5=25-20a ≥ 0 ( обеспечивает наличие одного или двух корней)
(2) a* f(5/3) > 0
(3) x_(o)=-1/a
5/2a > 5/3 ( вершина параболы правее точки х= 5/3 )
{25-20a ≥ 0 ⇒ a ≤ 5/4;
{a*((a*25/9)-5*(5/3)+5) > 0 ⇒ a*(25a-30) < 0 ⇒ a <0 или a> 6/5
{(5/2a)> 5/3 ⇒ (5/2a)-(5/3) > 0 ⇒ (3-2a)/(6a) > 0 ⇒ (2a-3)/(6a) < 0 0 < a < 3/2
При a=5/4 получаем уравнение:
|4/25-3|=(5/4)x-2
(5/4)x=(71/25)+2
x=484/125 - один положительный корень.
Поэтому
О т в е т. a∈(6/5; 5/4)
на (0;5/3) один корень
на (5/3;+ ∞) - два
Cм. рис. График y=|(5/x)-3| .
Прямые y=(6/5)x-2 y=(5/4)x-2 пересекают кривую в одной точке
Прямые между ними пересекают в трех точках
Причем на (0;5/3) один корень, на (5/3;+ ∞ ) два корня