Задача 41571 Помогите решить 18 номер с параметром ...
Условие
Решение
x^4-16+4x^3-16x=-4ax-8a+a^2
(x^2-4)(x^2+4)+4x(x^2-4)=-4ax-8a+a^2
(x^2-4)(x^2+4+4x)=-4ax-8a+a^2
[b](x-2)*(x+2)^3=-4ax-8a+a^2[/b]
Строим график функции y=(x-2)(x+2)^3 ( cм. рис. 1)
Касательная на рис. 2 имеет с кривой ТРИ общие точки.
[i]Переформулируем вопрос[/i]: При каком значении параметра а
прямая y= -4ax-8a+a^2 имеет с кривой ( рис.1)[i]три и более общих точек.[/i]
Составляем уравнение касательной к кривой y=x^4+4x^3-16x-16
в точке с абсциссой х_(o).
Уравнение имеет вид:
[b]y - f(x_(o)) = f`(x_(o)) * (x-x_(o))[/b]
В задаче
f(x)=x^4+4x^3-16x-16
f `(x)=4x^3+12x^2-16
f`(x_(o))=4x^3_(o) +12x^2_(o)-16
f(x_(o))=x^4_(o)+4x^3_(o)-16x_(o)-16
Уравнение принимает вид:
[b]y=(4x^3_(o) +12x^2_(o)-16)*(x-x_(o)) + (x^4_(o)+4x^3_(o)-16x_(o)-16)[/b]
или
[b]у= (4x^3_(o) +12x^2_(o)-16)*x -3x^4_(o)-8x^3_(o)-16[/b]
Найдем, при каких значениях параметра а касательная
у=[green] (4x^3_(o) +12x^2_(o)-16)[/green]*x + [blue](-3x^4_(o)- 8x^3_(o)-16)[/blue]
и прямая
y= [green]-4a[/green]*x[blue]-8a+a^2 [/blue]
[b]совпадают[/b]
{[green]4x^3_(o) +12x^2_(o)-16[/green]=[green]-4a[/green]
{[blue]-3x^4_(o)-8x^3_(o)-16[/blue]=[blue]-8a+a^2 [/blue]
Решаем систему двух уравнений с двумя переменными x_(o) и а.
{a=-x^3_(o) - 3x^2_(o) + 4
{-3x^4_(o)-8x^3_(o)-16=-8*(-x^3_(o) - 3x^2_(o) + 4)+(-x^3_(o) - 3x^2_(o) +4)^2 ⇒
x^6_(o)+6x^5_(o)+12x^4_(o)+8x^3_(o)=0
x^3_(o)*(x^3_(o)+6x^2_(o)+12x_(o)+8)=0
x^3_(o)*(x_(o)+2) ^3=0
Уравнение имеет корни
х_(o)=0 и х_(о)=-2
При
х_(o)=0 получаем а=4
уравнение принимает вид
x^4+4x^3-16x-16+16x-16=0
x^4+4x^3=0
x*(x+4)=0
x=0; x=-4 - только два корня
При x_(o)=-2 получаем a=0
уравнение принимает вид
x^4+4x^3-16x-16=0
(x-2)*(x+2)^3=0
уравнение имеет два корня
x=-2; x=2 - только два корня
При а > 0
Например, при а=1
Уравнение имеет 4 корня.
x^4+4x^3-16x-16=-4x-7
прямая y=-4x-7
пересекает кривую
y=x^4+4x^3-16x-16
в четырех точках см. рис. 3
Думаю, что Ответ (0;4)
Все решения
1. x^2 = –a+4 ==> один или два корня при 0 ≤ a ≤ 4
2. x^2+2x = –2x+a–4 ==> (x+2)^2=a ==> x = -2 ± sqrt(a) два корня при 0 < a ≤ 4
Ответ: 0 < a ≤ 4 (или 0 < a < 4, при a=4, вроде бы всего два корня: x=0 и x=-4 ???)
x^4+ 4x^3 + 4x(a-4)-(a-4)^2=0
x^4-(a-4)^2 + 4x(x^2- a+4)=0
(x^2-a+4)(x^2+ a-4)+ 4x(x^2+ a-4)=0
(x^2+a-4)(x^2+4x-a+4)=0
Т.е., x^2+a-4=0, либо x^2+4x-a+4=0
Из 1-го ур-ия: x_(1,2)= ± sqrt(4-a) при a ≤ 4
Из 2-го ур-ия: x_(3,4)=-2 ± sqrt(4 (a-4))=-2 ± sqrt(a) при a ≥ 0
Исключаем а, при которых корни совпадают:
± sqrt(4-a)=-2 ± sqrt(a) при 0 ≤ a ≤ 4
1) sqrt(4-a)=-2+sqrt(a) а=4 и а=0
2) sqrt(4-a)=-2 - sqrt(a) 4-a=4+a+2sqrt(2); -a=sqrt(a) ⇒ a=0
Ответ: 0<a<4
И не нужны ни касательные, ни производные ни ...