Задача 16067 Здравствуйте, помогите пожалуйста решить...
Условие
Решение
x^3+2x=x*(x^2+2)
Раскладываем дробь
(4x^2+1)/(x^3+2x) на простейшие методом неопределённых коэффициентов
(4x^2+1)/(x^3+2x)=(А/х)+(Mx+N)/(x^2+2)
4x^2+1=Ax^2+2A+Mx^2+Nx
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
4=A+M
0=N
1=2A ⇒ A=1/2
M=4-A=4-(1/2)=7/2
= (1/2)∫dx/x+(7/2)∫xdx/(x^2+2)=
(1/2)∫dx/x+(7/4)∫d(x^2+2)/(x^2+2)=
=(1/2)ln|x|+(7/4)ln|x^2+2|+C.
2)
Выделяем полный квадрат
x^2+8x+15=(x^2+8x+16)-1=(x+4)^2-1
Замена переменной
x+4=t
x=t-4
5x+2=5*(t-4)+2=5t-18
dx=dt
=∫(5t-18)dt/sqrt(t^2-1)=5∫tdt/sqrt(t^2-1)-18∫dt/sqrt(t^2-1)=
=(5/2)∫d(t^2-1)/sqrt(t^2-1)-18∫dt/sqrt(t^2-1)=
=(5/2)*2sqrt(t^2-1)-18ln|t+sqrt(t^2-1)|+C=
=5sqrt(x^2+8x+15)-18ln|x+4+sqrt(x^2+8x+15)|+C