Задача 31150 Применяя правило Лопиталя, найдите...

vk457319503

2018-11-20 08:56:07

Применяя правило Лопиталя, найдите пределы:

[m]\lim_{x \to 0} \frac{4^{sinx}-1}{3x^2}[/m]

[m]\lim_{x \to 5} (5-x)^{tg(x^2-25)}[/m]

sova

2018-11-20 09:48:08

8
а)lim_(x→0)(4^(sinx)-1)/3x^2=(0/0)- неопределенность

применяем правило Лопиталя

=lim_(x→0)(4^(sinx)-1)`/(3x^2)`=

=lim_(x→0)(4^(sinx)*cosx*ln4)/(6x)= ∞

О т в е т. ∞


б)lim_(x→5)(5-x)^(tg(x^2-25))=(0^(0)) - неопределенность.

Представим (5-х)=e^(ln(5-x)) - основное логарифм. тождество.

Тогда
(5-x)^(tg(x^2-25))=e^(ln(5-x)*tg(x^2-25))=e^(ln(5-x)/ctg(x^2-25))

и

lim_(x→5)(5-x)^(tg(x^2-25))=e^(lim_(x→5)ln(5-x)/ctg(x^2-25))


Вычислим

lim_(x→5)ln(5-x)/ctg(x^2-25)=(0/0)- неопределенность.
Применяем правило Лопиталя.

=lim_(x→5)(ln(5-x))`/(ctg(x^2-25))`=

=lim_(x→5)((1/(5-x))*(5-x)`) / [b]((-1/sin^2(x^2-25))*(x^2-25)`)[/b]=

=lim_(x→5) (-1/(5-x)) : (-2x/sin^2(x^2-25))=

=lim_(x→5) (sin^2(x^2-25))/(2x*(5-x))=(0/0)

применяем правило Лопиталя

=lim_(x→5)(sin^2(x^2-25))`/(10x-2x^2)`=

=lim_(x→5)(2sin(x^2-25)*(sin(x^2-25))`/(10-4x)=

=lim_(x→5)(2sin(x^2-25)*(cos(x^2-25))*(2x)/(10-4x)=

=0



lim_(x→5)(5-x)^(tg(x^2-25))=e^(lim_(x→5)ln(5-x)/ctg(x^2-25))=e^(0)=1

О т в е т. 1