Задача 53033 найти максимальное и минимальное...

vk277292461

19 августа 2020 г. в 08:03

найти максимальное и минимальное значение выражения (2x+1)/(x²+x+1)

sova

19 августа 2020 г. в 14:03

★

Обозначим:
[m]y=\frac{2x+1}{x^2+x+1}[/m]

x– любое действительное число, так как x²+x+1>0 при любом х:

D=1–4 <0

Тогда умножим обе части равенства на x²+x+1:

x²y+xy+y=2x+1

yx²+(y–2)x+y–1=0

Квадратное уравнение имеет решения при D ≥ 0

D=(y–2)²–4y(y–1)=y²–4y+4–4y²+4y=–3y²+4


–3y²+4 ≥ 0 ⇒ y² ≤ [m]\frac{4}{3} [/m] ⇒ |y| ≤ [m]\frac{2}{\sqrt{3}}[/m] ⇒

[m]-\frac{2}{\sqrt{3}}[/m] ≤ y ≤ [m]\frac{2}{\sqrt{3}}[/m]

[m]-\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m] ≤ y ≤ [m] \frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Наименьшее значение y:[m]-\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Наибольшее значение y:[m]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]