Задача 16047 Правильная шестиугольная призма...

slava191

26 мая 2017 г.

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Охуz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А1, В, С, В1 имеют координаты: A1(√3/2; –1/2; 1), B(√3/2; 1/2; 0), C(0; 1; 0), B1(√3/2; 1/2; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите расстояние:

а) от вершины В до прямой D1F1
б) от вершины А1 до плоскости АС1E1
в) между прямыми А1В и E1F.

SOVA

26 мая 2017 г.

★

а)
D1B (√3;0;–1)
D1F1 (√3/2;–3/2;0)
D1B·D1F=
=√3·√3/2+0·(–3/2)+(–1)·0=3/2
|D1B|=√(√3)²+1²=2
|D1F|=√(√3/2)²+(–3/2)²=√3
cos∠BD1F=(3/2)/(2·√3)=√3/4
sin∠BD1F=√1–(√3/4)²=(√14)/(4)
d=|BD1|·sin∠AC1С=2·(√13)/(4)=√13/2.

б)
Пусть М(х;у;z)– произвольная точка плоскости АС1E1
Тогда векторы
MC!(x;y–1;z–1); AC1(–√3/2;3/2;1); E1A(√3;0;–1) компланарны ( лежат в одной плоскости).
Условие компланарности : определитель третьего порядка, составленный из координат указанных векторов равен 0.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости АC1E1:
√3·x–y+3z–2=0
Расстояние от точки с координатами (х_о;у_о;z_o) находим по формуле
d=|x_o–y_o+3z_o–2|/√3+1+9
d=|0

d=|(3/2)+(1/2)+3–2|/√13=3/√13;
в)
Проводим DE1 || BA1. Плоскость DE1F || BA1
Cоставляем уравнение плоскости DE1F

Пусть Р(х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
FP (x;y+1;z); FD (–√3/2;3/2;0) и FE1(–√3/2;1/2;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости DE1F:
√3·x+y+z+1=0
расстояние от любой точки прямой BA1, например В, и есть расстояние между прямыми.
d(В)=|(3/2)+(1/2)+0+1|/√(3+1+1)=3/√5