Задача 16047 Правильная шестиугольная призма...

slava191

26.05.2017

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Охуz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А1, В, С, В1 имеют координаты: A1(sqrt(3)/2; -1/2; 1), B(sqrt(3)/2; 1/2; 0), C(0; 1; 0), B1(sqrt(3)/2; 1/2; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите расстояние:

а) от вершины В до прямой D1F1
б) от вершины А1 до плоскости АС1E1
в) между прямыми А1В и E1F.

SOVA

26.05.2017

★

а)
vector{D1B} (sqrt(3);0;-1)
vector{D1F1} (sqrt(3)/2;-3/2;0)
vector{D1B}*vector{D1F}=
=sqrt(3)*sqrt(3)/2+0*(-3/2)+(-1)*0=3/2
|vector{D1B}|=sqrt((sqrt(3))^2+1^2)=2
|vector{D1F}|=sqrt((sqrt(3)/2)^2+(-3/2)^2)=sqrt(3)
cos∠BD1F=(3/2)/(2*sqrt(3))=sqrt(3)/4
sin∠BD1F=sqrt(1-(sqrt(3)/4)^2)=(sqrt(14))/(4)
d=|BD1|*sin∠AC1С=2*(sqrt(13))/(4)=sqrt(13)/2.

б)
Пусть М(х;у;z)- произвольная точка плоскости АС1E1
Тогда векторы
vector{MC!}(x;y-1;z-1); vector{AC1}(-sqrt(3)/2;3/2;1); vector{E1A}(sqrt(3);0;-1) компланарны ( лежат в одной плоскости).
Условие компланарности : определитель третьего порядка, составленный из координат указанных векторов равен 0.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости АC1E1:
sqrt(3)*x-y+3z-2=0
Расстояние от точки с координатами (х_(о);у_(о);z_(o)) находим по формуле
d=|x_(o)-y_(o)+3z_(o)-2|/sqrt(3+1+9)
d=|0

d=|(3/2)+(1/2)+3-2|/sqrt(13)=3/sqrt(13);
в)
Проводим DE1 || BA1. Плоскость DE1F || BA1
Cоставляем уравнение плоскости DE1F

Пусть Р(х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
FP (x;y+1;z); FD (-sqrt(3)/2;3/2;0) и FE1(-sqrt(3)/2;1/2;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости DE1F:
sqrt(3)*x+y+z+1=0
расстояние от любой точки прямой BA1, например В, и есть расстояние между прямыми.
d(В)=|(3/2)+(1/2)+0+1|/√(3+1+1)=3/√5