Задача 43388 ...

vk311397029

2020-01-15 16:04:37

Решить неравенство

[block](2*3^(2x+1) - 7*6^x + 2*4^x)/(3*9^x-3^x*2^(x+1)) ≤ 1[/block]

sova

2020-01-15 16:24:45

[m]\frac{2\cdot3^{2x+1}-7\cdot 6^{x}+2\cdot4^{x}}{3\cdot 9^{x}-3^{x}\cdot 2^{x+1}}\leq 1[/m]

[m]3^{2x+1}=3^{2x}\cdot 3=3\cdot (3^{x})^2[/m]

[m]6^{x}=(2\cdot 3)^{x}=2^{x}\cdot 3^{x}[/m]

[m]4^{x}=(2\cdot 2)^{x}=2^{x}\cdot 2^{x}=(2^{x})^2[/m]

[m]3^{x}\cdot 2^{x+1}=3^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2[/m]

Переносим 1 влево
[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot(2^{x})^2}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}-1\leq 0[/m]

и приводим к общему знаменателю

[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot (2^{x})^2-3\cdot (3^{x})^2+2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Приводим подобные слагаемые в числителе.

Получаем неравенство:

[m]\frac{3\cdot(3^{x})^2-5\cdot6^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Раскладываем на множители числитель и знаменатель:

[m]\frac{3\cdot 9^{x}-3\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]

[m]\frac{3\cdot 3^{x}\cdot (3^{x}-cdot 2^{x})-2\cdot 2^{x} \cdot (3^{x}- 2^{x})}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]


[m]\frac{(3^{x}-2^{x})(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}{3^{x}(3\cdot3^{x}-2\cdot2^{x})}\leq 0[/m]


Применяем обобщенный метод интервалов:

находим нули числителя:

(3^(x)-2^(x))*(3*3^(x)-2*2^(x))=0 ⇒
3^(x)-2^(x)=0 или 3*3^(x)-2*2^(x)=0
3^(x)=2^(x) ⇒ x=1 или 3*3^(x)=2*2^(x) ⇒ x=-1

Находим нули знаменателя:

3^(x) > 0 при любом х
3*3^(x)-2*2^(x)=0
3*3^(x)=2*2^(x)
3^(x+1)=2^(x+1) ⇒ x=-1

__-__ (-1) __-___ [1] __+__

О т в е т. (- ∞ ;-1) U(-1;1]